2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ур-е в частных производных. Задача Коши
Сообщение29.12.2014, 00:35 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Найти поверхность, удовлетворяющую заданному уравнению и проходящую через данную линию: $x\frac{\partial z}{\partial x} + z\frac{\partial z}{\partial y} = y$, $y=2z$, $x+2y=z$

Сначала решаю уравнение. Составляю систему в симметричной форме:

$\frac{dx}{x}=\frac{dy}{z} = \frac{dz}{y}$

1) Рассмотрим последние две дроби: $\frac{dy}{z} = \frac{dz}{y}$

$ydy=zdz$

$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}z^2 + C_1$

$y^2 - z^2 = C_1$

Нашли первый интеграл.

2) Рассмотрим все три дроби. Складываем все и получаем: $\frac{d(x+y+z)}{x+y+z}$

Приравниваем полученную дробь к первой: $\frac{d(x+y+z)}{x+y+z} = \frac{dx}{x}$

$x = x+y+z + C_2$

$y+z = C_2$

Теперь решаем задачу Коши. Интегральаня поверхность должна проходить через данную поверхность:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &y=2z& \\
 &x+2y=z& \\
\end{array}
\right.$

Почему-то нельзя первое уравнение подставить во второй вот так:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &y=2z& \\
 &x=-3z& \\
\end{array}
\right.$

В мейпле получается пересечение совсем других плоскостей.

Из второго уравнения выражу $x: x=z-2y$

Получаем:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &y=2z& (*)\\ 
 &x=z-2y& (**)\\ 
\end{array}
\right.$

Подставляем (*) и (**) в первые интегралы. Почему-то оказалось, что второй уравнение лишнее.

$C_1 = 4z^2 - z^2 = 3z^2$

$C_2 = 2z + z = 3z \Rightarrow z= \frac{1}{3}C_2$

$C_1 = 3z^2 = 3(\frac{1}{3}C_1)^2 = \frac{1}{3}C_{1}^2$

Я запутался. Есть ли ошибки? Что дальше делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур-е в частных производных. Задача Коши
Сообщение29.12.2014, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Nurzery[Rhymes] в сообщении #953806 писал(а):
$x = x+y+z + C_2$

Ошибка. Неправильно проинтегрировано предыдущее уравнение

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур-е в частных производных. Задача Коши
Сообщение29.12.2014, 00:56 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Red_Herring в сообщении #953811 писал(а):
Nurzery[Rhymes] в сообщении #953806 писал(а):
$x = x+y+z + C_2$

Ошибка. Неправильно проинтегрировано предыдущее уравнение


Точно, вроде бы вот так правильно:

$\ln |x+y+z| = \ln |x| + \ln C_2$

$x+y+z = C_2 x$

Разделим обе части на $x$

$1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x} = C_2$

Решение задачи Коши у меня не доделано. Там хотя бы что-нибудь логически верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур-е в частных производных. Задача Коши
Сообщение29.12.2014, 01:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Пока верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур-е в частных производных. Задача Коши
Сообщение29.12.2014, 01:25 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Тогда едем дальше.

$C_2 = 1+ \frac{y}{x}+ \frac{z}{x}$

Вместо переменных $y$ и $x$ подставляем их выражение из начальных условий, которые такие:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &y=2z& \\
 &x=z-2y& \\
\end{array}
\right.$

$C_1 = 4z^2 - z^2 = 3z^2$

$C_2 = 1 + \frac{2z}{z-2y}+ \frac{z}{z-2y} = 1+ \frac{3z}{z-2y}$

Из первого выражаем $z = \sqrt{\frac{1}{3}C_1}$

Подставляем это выражение для $z$ во второе равенство:

$C_2 = 1 + \frac{3\sqrt{\frac{1}{3}C_1}}{\sqrt{\frac{1}{3}C_1} - 2y} = 1 + \frac{\sqrt{3 C_1}}{\sqrt{\frac{1}{3}C_1} - 2y}$

Выражение второй константы через функции подставляем во второй первый интеграл, заменив $C_1$ на $y^2 - z^2$:

$1+ \frac{y}{x}+ \frac{z}{x} = 1 + \frac{\sqrt{3(y^2 - z^2)}}{\sqrt{\frac{1}{3}(y^2 - z^2)} - 2y}$

Но это неправильно. Правильный ответ $x+y+z = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур-е в частных производных. Задача Коши
Сообщение29.12.2014, 01:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
$1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x} = C_2$. ОК. И сразу сделали ошибку.
Nurzery[Rhymes] в сообщении #953828 писал(а):
$C_2 = y+z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур-е в частных производных. Задача Коши
Сообщение29.12.2014, 01:59 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Нет там ошибки. Я нечаянно записал $C_2 = y+z$, но вычисления делал с $C_2 = 1+ \frac{y}{x}+ \frac{z}{x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур-е в частных производных. Задача Коши
Сообщение29.12.2014, 02:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Вы должны выразить $C_2$ через $C_1$ и только через $C_1$. А там у Вас торчит $y$ который должен быть выражен через $C_1$ ($y=2z=...$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур-е в частных производных. Задача Коши
Сообщение29.12.2014, 02:28 
Аватара пользователя


03/11/14

395
$y=2z=\sqrt{\frac{4}{3}C_1}$

Выражаю $C_2$ только через $C_1$:

$C_2 = 1 + \frac{\sqrt{3C_1}}{\sqrt{\frac{1}{3}C_1} - 2\sqrt{\frac{4}{3}C_1}}$

Теперь надо сделать замену $C_1 = 3z^2$ и подставить выражение $C_2$ в $1 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = C_2$?

-- 29.12.2014, 03:33 --

Ого, после этой подстановки и упрощения получилось, что $C_2 = 0$.

Стало быть, искомая функция имеет вид $1 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = 0$? После домножения на $x$ как раз получается тот ответ, который в задачнике. Но почему надо домножать? Поверхность имеет совсем другой вид, когда в знаменателе $x$. Она красивая, а в ответе просто плоскость. Какой из этих ответов правильный?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур-е в частных производных. Задача Коши
Сообщение29.12.2014, 02:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Поверхность задана неявным уравнением $1 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = 0$ и это в точности и означает что $x+y+z=0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group