2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение28.12.2014, 22:55 


06/08/14
53
Здравствуйте.
Есть задание:
доказать,что $l_5$-полное метрическое пространство.
Алгоритм проверки полноты:
1) Берем фунд. последовательность , записываем условие фундаментальности.
2) Строим поточечный или покоординатный предел(пользуясь критерием Коши)
3) Проверяем, что полученный предел лежит в данном метрическом пространстве.
4) Доказываем, что сходимость будет в данном метрическом пространстве.

Мне удалось доказать только первые два пункта.
$x=(x_1...x_n...)$
$\rho (x,y)=(\sum_{i=1}^{n}\left | x_i^{(k)}-x_i \right |^p)^{1/p} ; p\geq 1$
1) Фундаментальная последовательность
$\{x^{(m)}\}$
$\forall \varepsilon >0,\exists m_0(\varepsilon )\in \mathbb{N} $ такое что для $\forall k\geqslant  m_0 ,
\forall l\geqslant m_0 \Rightarrow \rho (x^{(k)},x^{(l)}) < \varepsilon $
То есть
$(\sum_{i=1}^{\propto }\left | x_i^{(k)}-x_i^{(l)} \right |^p)^{1/p} < \varepsilon $
2) Зафиксируем координату $i\in \mathbb{N}$
$x_i^{(1)},x_i^{(2)}...$- чисовая последовательность $\Rightarrow  \left | x_i^{(k)}-x_i^{(l)} \right |=(\left |x_i^{(k)},x_i^{(l)}  \right |^p)^{1/p}\leqslant (\sum_{i=1}^{\propto }\left | x_i^{(k)}-x_i^{(l)} \right |^p)^{1/p}$
$\forall \varepsilon >0,\exists m_0(\varepsilon )\in \mathbb{N} $ такое что для $\forall k\geqslant  m_0 ,
\forall l\geqslant m_0 \Rightarrow \left | x_i^{(k)}-x_i^{(l)} \right |< \varepsilon \Rightarrow$ [По критерию Коши]$\Rightarrow \exists \lim_{m\rightarrow \propto }x_i^{(m)}=x_i\in \mathbb{R}$ то есть $x=(x_1...x_n...)$ - предельный элемент.
3) Сумма не конечна, так как последовательность бесконечна. Нужно доказать, что предел лежит в метрическом пространстве.
4) $\rho (x^{(m)},x)\rightarrow 0 ?$
$\lim_{m\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})=0$
Сумма конечного числа бесконечно малых,бесконечно мала.
Вот теперь нужно как-то обратно перейти к бесконечной сумме. Я не знаю, как это сделать.

Скажите, пожалуйста, как доказать последние два пункта.
Все,что написанно выше, проверенно преподователем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение28.12.2014, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Лемму Фату знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение28.12.2014, 23:19 


06/08/14
53
demolishka
такой леммы в теории не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение28.12.2014, 23:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Вот у вас есть неравенство $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|x_{k}^{(n)}-x_{k}^{(m)}|^p \leq \varepsilon^p$. Оно также верно для конечных сумм. Дальше нужно дважды использовать предельный переход.

Но с леммой Фату все было бы проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение29.12.2014, 00:29 


06/08/14
53
То есть
$\lim_{m\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})=0$ , так как числовая последовательность $x_i^{(m)}$ стремится к предельному элементу $x_i$.
Получаем,что
$\lim_{m\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{\propto}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})\geq\lim_{m\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})$
Следовательно
$\lim_{m\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{\propto}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})\rightarrow 0$
Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение29.12.2014, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Нет. Внимательно посмотрите то, что я написал: это условие фундаментальности последовательности в $l^p$, а не то, что у Вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение29.12.2014, 00:47 


06/08/14
53
demolishka,не понимаю:(

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение29.12.2014, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Цитата:
Вот у вас есть неравенство $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|x_{k}^{(n)}-x_{k}^{(m)}|^p \leq \varepsilon^p$. Оно также верно для конечных сумм.

Вот запишите неравенство для конечной суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение29.12.2014, 00:56 


06/08/14
53
$\sum\limits_{k=1}^{N}|x_{k}^{(n)}-x_{k}^{(m)}|^p \leq \varepsilon^p$, где N какое-то число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение29.12.2014, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Цитата:
где N какое-то число

Не какое-то, а любое.

Теперь как из написанного неравенства получить неравенство $\sum\limits_{k=1}^{N}|x_{k}^{(n)}-x_{k}|^p \leq \varepsilon^p$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение29.12.2014, 01:00 


06/08/14
53
Из бесконечности взять любое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение29.12.2014, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Ну бред-то не несите. Подумайте, что у Вас имеется и что нужно получить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение29.12.2014, 01:20 


06/08/14
53
у нас есть бесконечная числовая последовательность.
теперь нам нужно от бесконечной последовательности, как-то перейти к конечной. но как? из бесконечной последовательности убрать бесконечное число элементов. - бред...
или зафиксировать номер какого-то элемента и суммировать до него...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение29.12.2014, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Вы вообще знаете, что такое предельный переход в неравенствах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)
Сообщение29.12.2014, 01:42 


06/08/14
53
$\lim_{i\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})=\lim_{i\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i^{(m)}\right |^p)^{1/p}) - \lim_{i\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left |x_i \right |^p)^{1/p})$
Следет,что
$\lim_{i\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i \right |^p)^{1/p}) \geq \lim_{i\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left |x_i{(m)} \right |^p)^{1/p})$
http://www.pm298.ru/predeln.php

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group