2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определенный интеграл. Доказать равенство
Сообщение26.12.2014, 21:41 


21/09/14
7
Доказать, что $\int\limits_0^\pi  xf(\sin x)dx = \frac \pi 2 \int\limits_0^\pi  f(\sin x)dx$.

Сделаем замену $U=\pi - x$, тогда $dx = - dU$, $\pi$ и $0$ — новые пределы интегрирования.
$\int\limits_0^\pi  xf(\sin x)dx =$ $ \int\limits_\pi^0  (\pi - U) f(\sin (\pi - U)) (-dU) =$ $\int\limits_0^\pi  (\pi - U) f(\sin U) dU = $ $ \pi \int\limits_0^\pi  f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi  U f(\sin U) dU$.
Вроде бы удалось приблизиться к доказательству, но как можно преобразовать полученное равенство $\int\limits_0^\pi  xf(\sin x)dx =$ $ \pi \int\limits_0^\pi  f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi  U f(\sin U) dU$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл. Доказать равенство
Сообщение26.12.2014, 21:48 
Заслуженный участник


08/04/08
8251
Scientia в сообщении #952793 писал(а):
но как можно преобразовать полученное равенство $\int\limits_0^\pi  xf(\sin x)dx =$ $ \pi \int\limits_0^\pi  f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi  U f(\sin U) dU$?
Отсюда до искомой точки 2 шага.
Вспомните про то, что внутренняя переменная определенного интеграла - немая.
Т.е. $\int\limits_a^b h(x)dx=\int\limits_a^b h(\text{ы})d\text{ы}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл. Доказать равенство
Сообщение26.12.2014, 22:37 


21/09/14
7
Sonic86 в сообщении #952799 писал(а):
Вспомните про то, что внутренняя переменная определенного интеграла - немая.

Спасибо.
Т.е., исходя из свойства определенного интеграла, я могу записать неравенство $\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx =$ $\pi \int\limits_0^\pi f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi U f(\sin U) dU$ следующим образом: $\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx = \pi \int\limits_0^\pi f(\sin x) dx - \int\limits_0^\pi x f(\sin x) dx$
$\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx = \frac \pi 2 \int\limits_0^\pi f(\sin x) dx.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group