2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение24.12.2014, 23:29 


14/12/14
454
SPb
Необходимо доказать, что для любого натурального $n\geqslant1$ число $1986^n-1$ не делится на число $1000^n-1$.

Как думаете, с чего начать рассуждение? Может быть есть какие-то общеизвестные теоремы или нужно доказывать от противного?

Например, если предположить, что число $a$ делится на $b$, то тогда на $b$ должна делиться сумма и разность этих чисел.

Ну, допустим, так: $(1986^n-1)+(1000^n-1) = 1986^n+1000^n-2$. Или так: $(1986^n-1)-(1000^n-1) = 1986^n+1000^n$.

Но, что делать дальше, не пойму?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение24.12.2014, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Никаких теорем нет. Доказывать от противного нужно и не нужно. А начинать следует, как всегда в таких случаях, с рассмотрения по малым модулям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 00:13 


14/12/14
454
SPb
ИСН в сообщении #951791 писал(а):
как всегда в таких случаях, с рассмотрения по малым модулям.


Это как, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Это, например, когда Вы рассматриваете своё равенство (или что там есть) по модулю какого-нибудь небольшого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3581
timber в сообщении #951813 писал(а):
Это как, например?

Это, например, как $(2n+8)$ делится на 4. Может делиться без остатка, а может и с остатком. В зависимости от этого ответы у некоторых задач бывают разными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 00:30 


14/12/14
454
SPb
ИСН в сообщении #951815 писал(а):
Это, например, когда Вы рассматриваете своё равенство (или что там есть) по модулю какого-нибудь небольшого числа.


Правильно, понимаю, что Вы хотите сказать, что надо рассмотреть $1986^n \equiv1\pmod {2}$ и $1000^n \equiv1\pmod {2}$ и если нет, то нет - не делится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Если нет, то разные варианты могут быть. А в общем да, ищите где-то в этом круге идей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 00:37 


14/12/14
454
SPb
ИСН в сообщении #951825 писал(а):
Если нет, то разные варианты могут быть. А в общем да, ищите где-то в этом круге идей.


Спасибо! Поищу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 07:38 
Заморожен


20/12/10
5623
timber в сообщении #951782 писал(а):
Необходимо доказать, что для любого натурального $n\geqslant1$ число $1986^n-1$ не делится на число $1000^n-1$.
Кажется, здесь с формулировкой что-то не так, уж слишком просто всё получается (не по модулю $2$ нужно посмотреть, а по модулю ... какому?). Предлагаю ТС заменить $1986$ на $1978$ (в таком виде задача встречается в задачниках), станет поинтересней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 08:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12666
Конечно, привлечение модулей даёт перспективу, но в первоначальном виде задача действительно требует лишь четырёх "теорем" из пятого класса. А то человек умеет жонглировать сложными рассуждениями, а простыми, бытовыми знаниями не пользуется. Типа, что чётное число может делиться на нечётное, а нечётное на чётное никогда. А потом его в магазине обсчитывают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 13:50 


14/12/14
454
SPb
nnosipov в сообщении #951909 писал(а):
timber в сообщении #951782 писал(а):
Необходимо доказать, что для любого натурального $n\geqslant1$ число $1986^n-1$ не делится на число $1000^n-1$.
Кажется, здесь с формулировкой что-то не так, уж слишком просто всё получается (не по модулю $2$ нужно посмотреть, а по модулю ... какому?). Предлагаю ТС заменить $1986$ на $1978$ (в таком виде задача встречается в задачниках), станет поинтересней.


Ну и разве будет какая-то разница, если заменить 1986 на 1978. Способ доказательства и ответ разве поменяются? По-моему, нет.

-- 25.12.2014, 13:51 --



-- 25.12.2014, 13:55 --

gris в сообщении #951927 писал(а):
Конечно, привлечение модулей даёт перспективу, но в первоначальном виде задача действительно требует лишь четырёх "теорем" из пятого класса. А то человек умеет жонглировать сложными рассуждениями, а простыми, бытовыми знаниями не пользуется. Типа, что чётное число может делиться на нечётное, а нечётное на чётное никогда. А потом его в магазине обсчитывают.


Не понимаю Ваш комментарий. Но, по условиям задачи видно, что оба числа нечетные. Нечетное на нечетное вполне может делиться. А нужно доказать, что нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
timber в сообщении #952017 писал(а):
Ну и разве будет какая-то разница, если заменить 1986 на 1978. Способ доказательства и ответ разве поменяются? По-моему, нет.

Если Ваш способ доказательства состоит в словах "а хрен его знает" - тогда, конечно, он не поменяется.
А если в чём-то другом, так приведите же его, наконец.

-- менее минуты назад --

timber в сообщении #952017 писал(а):
Нечетное на нечетное вполне может делиться. А нужно доказать, что нет.
Есть другие малые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 13:58 
Заморожен


20/12/10
5623
timber в сообщении #952017 писал(а):
По-моему, нет.
Ответ не изменится, а методы решения будут уже другие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 14:03 


14/12/14
454
SPb
ИСН в сообщении #952021 писал(а):
Если Ваш способ доказательства состоит в словах "а хрен его знает"


Это Вы к чему?

Зачем мне обращаться на форум, если я знаю как это доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Это Вы правильно делаете, что обращаетесь на форум. Но к чему высказывать суждения о возможном способе доказательства и в частности - о том, поменяется ли он от каких-то изменений в условиях, если у Вас пока нет никакого способа?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group