2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5181
Москва
А на 3 оно делится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Ну кто, кто Вас просил все карты раскрывать сразу? Эх!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 14:56 


14/12/14
454
SPb
nnosipov в сообщении #952024 писал(а):
timber в сообщении #952017 писал(а):
По-моему, нет.
Ответ не изменится, а методы решения будут уже другие.


Метод не изменится. Поменяются только цифры. Это можно доказать.

ИСН в сообщении #952029 писал(а):
Это Вы правильно делаете, что обращаетесь на форум. Но к чему высказывать суждения о возможном способе доказательства и в частности - о том, поменяется ли он от каких-то изменений в условиях, если у Вас пока нет никакого способа?


Ну в общем, доказать возможно таким образом:

1) Если при некотором натуральном числе $n$ числа $(1986^n-1)$ и $(1978^n-1)$ делятся на $(1000^n-1)$, то на $(1000^n-1)$ делятся и разности:

$(1986^n-1)-(1000^n-1)=2^n(993^n-500^n)$;
$(1978^n-1)-(1000^n-1)=2^n(989^n-500^n)$.

2) Поскольку число $1000^n-1$ нечётное, то оно взаимно просто с числом $2^n$ и поэтому на $1000^n-1$ должны делиться разности $993^n-500^n$ и $989^n-500^n$. Однако:
$993^n-500^n<1000^n-1$;
$989^n-500^n<1000^n-1$.

Честно говоря, приводимый вариант доказательства не мой. И поэтому, мне хотелось бы прийти к решению другим способом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Хороший вариант, и действительно годится на оба случая. Но я имел в виду другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 15:09 
Заморожен


20/12/10
5623
timber в сообщении #952042 писал(а):
Метод не изменится.
Тот способ решения, который Вы приводите, --- да, он сохранится. Но все здесь имели в виду другое (и гораздо более простое) рассуждение. Кроме того, для случая со $1978$ есть ещё один способ решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5181
Москва
А посмотрим, быстро ли съестся и эта подсказка...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 15:27 


15/06/12
54
timber, красиво, коротко, но трудно расширить на нечетные основания.
А если попросить доказать, что $1977^n-1$ или, скажем, $1987^n-1$ не делятся на $1000^n-1$ ? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5181
Москва
Вообще у меня такое впечатление, что тут некое "горе от ума". Потому как задача для толкового пятиклассника. Которому только-только рассказали про признаки делимости. И даже школьническое валяние дурака на уроке способом выписывания длиииииинных чисел тут пригодится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12658
Кстати, увидев задачу, я был удивлён мистическим совпадением: только позавчера я увидел, как некий пятиклассник упорно делит в столбик $2491$ на $17, 19, 37$ и прочие двузначные простые числа. Предложение воспользоваться калькулятором отвергнуто как нечестное. Оказалось, что он ищет разложение этого числа на простые множители. Робкое упоминание, что кроме тибериума в инете есть и вольфрам, не сработало. Но оказалось, что исходная задача была такая: Принадлежит ли число $3$ к множеству делителей упомянутого числа. Недоуменный вопрос: почему бы не поделить в тот же столбик на $3$ был отвечен встречным с ухмылочкой: может быть ещё и признаком делимости воспользоваться (который ровно в этом параграфе и проходится)? И было продолжено терпеливое деление и скорое нахождение множества делителей.
Не придумал! И начал писать ещё до предыдущего сообщения, с которым тоже многое мистически совпало :-)
Вот так многие не ищут лёгких путей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 15:47 
Заморожен


20/12/10
5623
Евгений Машеров в сообщении #952066 писал(а):
Вообще у меня такое впечатление, что тут некое "горе от ума". Потому как задача для толкового пятиклассника.
Да, но стоит немного "упростить" условие (зачем эти большие четырёхзначные основания, возьмём что-нибудь поменьше), как задача может стать совсем не детской. Например, вряд ли можно просто объяснить, почему $3^n-1$ делится на $2^n-1$ только при $n=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3566
nnosipov в сообщении #952081 писал(а):
задача может стать совсем не детской.

Ну, не совсем, а так, наполовину :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 16:38 
Заморожен


20/12/10
5623
grizzly в сообщении #952103 писал(а):
Ну, не совсем, а так, наполовину :)
Ну вот даны какие-то натуральные $a$ и $b$. Как найти натуральные $n$, для которых $a^n-1$ делится на $b^n-1$? Не вижу ничего детского в такой постановке вопроса. По-моему, он труден.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 16:44 


14/12/14
454
SPb
nnosipov в сообщении #952048 писал(а):
все здесь имели в виду другое (и гораздо более простое) рассуждение


Какое, если не секрет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 16:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
ИСН в сообщении #951791 писал(а):
начинать следует, как всегда в таких случаях, с рассмотрения по малым модулям.


-- менее минуты назад --

Туманно как-то вышло; вон с двойкой попробовали и всё ОК. Ну ладно, а Вы всё же попробуйте ещё с каким-нибудь малым...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12658
А может быть именно так и отрастают ИСН-овские лыжи?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group