2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 20:38 


24/12/14
50
Помогите, пожалуйста, доказать неравенство
$|$\sin(x)$|$\leqslant$|$x$|$.
Пробовал через производную, но не понимаю, как с ее помощью проанализировать. Может, графически можно доказать? wolframalpha

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12712
Москва
Да, графически.

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3877
На единичной окружности нарисуйте $x$ и $\sin x$ и сравните.

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 21:48 


24/12/14
50
Brukvalub в сообщении #951692 писал(а):
Да, графически.

Для этого нужно доказать, что $\sin x=x$ только при $x=0$, да? Как это сделать?

-- 24.12.2014, 22:50 --

--mS-- в сообщении #951693 писал(а):
На единичной окружности нарисуйте $x$ и $\sin x$ и сравните.

Не могли бы Вы подробнее пояснить? Если нельзя по правилам тут, так может в ЛС? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 21:56 
Аватара пользователя


07/07/14
150
Skyfall в сообщении #951720 писал(а):
Brukvalub в сообщении #951692 писал(а):
Да, графически.

Для этого нужно доказать, что $\sin x=x$ только при $x=0$, да? Как это сделать?

-- 24.12.2014, 22:50 --

--mS-- в сообщении #951693 писал(а):
На единичной окружности нарисуйте $x$ и $\sin x$ и сравните.

Не могли бы Вы подробнее пояснить? Если нельзя по правилам тут, так может в ЛС? :)


В учебнике Л.Д.Кудрявцев - Курс математического анализа (издание 1981 года) на страницах 140-141 подробно все написано:)

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 22:52 


24/12/14
50
PeanoJr в сообщении #951726 писал(а):
В учебнике Л.Д.Кудрявцев - Курс математического анализа (издание 1981 года) на страницах 140-141 подробно все написано:)

Благодарю за ссылку на книгу, жаль только, у меня 2003г, но я так понимаю, что речь о параграфе 9, пункт 5 "Сравнение функций"?
$\sin x = x + o(x), x \to 0 $ это? :)
Помогите, пожалуйста, разобраться с решением неравенства. Допустим, решаю графически. Что для этого нужно сделать? Достаточно ли сказать, что графики функций $|\sin x |$ и $|x|$ имеют одну общую точку, а все остальное видно по рисунку?:)

Также не теряю надежды, что кто-нибудь поможет через производную доказать. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Skyfall в сообщении #951752 писал(а):
$\sin x = x + o(x), x \to 0 $ это? :)

Нет, не это. Для этого неравенство нужно уже доказать.

Отложите от оси $Ox$ на единичной окружности дугу, равную $x$ радиан в обе стороны. Будет дуга размером $2x$. Концы ее соедините хордой. Чему равна длина хорды? Что короче, хорда или дуга?

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 23:04 


24/12/14
50
provincialka в сообщении #951753 писал(а):
Отложите от оси $Ox$ на единичной окружности дугу, равную $x$ радиан в обе стороны. Будет дуга размером $2x$. Концы ее соедините хордой. Чему равна длина хорды? Что короче, хорда или дуга?


Хорда всегда будет короче, как я понимаю. Длина дуги - это х, хорды - значение синуса. Благодарю, красивое решение.
А через производную как решить подскажете? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Зачем? Сама производная выводится с использованием соотношения
Skyfall в сообщении #951752 писал(а):
$\sin x = x + o(x), x \to 0 $
, для доказательства которого применяется заявленное вами неравенство. То есть получается круг в доказательстве.

Но если очень надо - исследуйте на экстремум разность $x-\sin x$

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 23:22 


24/12/14
50
Дело в том, что преподаватель мне привел док-во этого неравенства через производную и я его не до конца понял. Вот оно:
$y = t - \sin t , t \geqslant 0$
$ y' = 1 - \cos t \geqslant 0 $
$ y(0) = 0, y\geqslant 0 $

Попробовал исследовать. Есть одна критическая точка ($ x = 0 $), но она не является точкой экстремума. Т.е. имеем, что $ f(x) = x- \sin x $\geqslant$ 0 при $x $\geqslant$ 0 $ что и требовалось, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 23:30 
Аватара пользователя


07/07/14
150

(Оффтоп)

В учебнике Ильин,Садовничий,Сендов - Математический анализ вообще рассматривается вариант вводить синус и косинус как решения системы функциональных уравнений, удовлетворяющих ряду условий,одним из которых является $0< \sin x<x<\tg x$ для $x \in (0;\frac{\pi}{2})$ А оттуда уже практически сразу получается и $|\sin x|\leqslant|x|$. Довольно красиво:)

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Если без модуля, то 0 не является точкой экстремума. Следите за убыванием/возрастанием в окрестности 0. Хотя бы справа, слева там все симметрично.

-- 24.12.2014, 23:32 --

PeanoJr
Можно. Чтобы окончательно "добить" первокурсников этим ужасным матаном. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 23:35 


24/12/14
50

(Оффтоп)

PeanoJr в сообщении #951784 писал(а):
В учебнике Ильин,Садовничий,Сендов - Математический анализ вообще рассматривается вариант вводить синус и косинус как решения системы функциональных уравнений, удовлетворяющих ряду условий,одним из которых является $0< \sin x<x<\tg x$ для $x \in (0;\frac{\pi}{2})$ А оттуда уже практически сразу получается и $|\sin x|\leqslant|x|$. Довольно красиво:)


Благодарю за интересный факт. После сессии ознакомлюсь. Но, наверное, первокурсник там мало что поймет, да? :)


-- 25.12.2014, 00:38 --

provincialka в сообщении #951785 писал(а):
Если без модуля, то 0 не является точкой экстремума. Следите за убыванием/возрастанием в окрестности 0. Хотя бы справа, слева там все симметрично.

Да, пока без модуля рассматриваю. Но я пока не уловил, где я допустил ошибку?

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 23:39 
Аватара пользователя


07/07/14
150
Skyfall в сообщении #951787 писал(а):

(Оффтоп)

PeanoJr в сообщении #951784 писал(а):
В учебнике Ильин,Садовничий,Сендов - Математический анализ вообще рассматривается вариант вводить синус и косинус как решения системы функциональных уравнений, удовлетворяющих ряду условий,одним из которых является $0< \sin x<x<\tg x$ для $x \in (0;\frac{\pi}{2})$ А оттуда уже практически сразу получается и $|\sin x|\leqslant|x|$. Довольно красиво:)


Благодарю, за интересный факт. После сессии ознакомлюсь. Но, наверное, первокурсник там мало что поймет, да? :)


(Оффтоп)

Напротив - этот учебник как раз для первокурсников :)

 Профиль  
                  
 
 Re: |sin(x)|<=|x|
Сообщение24.12.2014, 23:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Skyfall в сообщении #951787 писал(а):
Но я пока не уловил, где я допустил ошибку?

А кто сказал, что вы ее допустили? Вы честно рассмотрели случай $x \geqslant 0$. Осталось упомянуть, почему при $x <0$ все аналогично.

-- 24.12.2014, 23:45 --

Ошибка, скорее, в постановке задачи. Потому что определение синуса в вашем курсе дается явно не "по Садовничему", а по-простецки, через прямоугольные треугольники. Ну, а в этом случае само существование производной следует из данного (или подобного) неравенства.
Кстати, в самом деле. Как вам объясняли производную синуса? Через замечательный предел? А его как доказывали?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group