2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Oleg Zubelevich в сообщении #955061 писал(а):
правая часть чего равна нулю? правая часть волнового уравнения равна $h$, как только что было написано.Повторяю вопрос: чему равно $f$?

Да, конечно. У нас $f=h(x,t)$ — неизвестная функция, сосредоточенная на $\{(x,t): u(x,t)=a\}$ где $y=a$ положение стенки

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 11:53 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Прошу прощения, не заметил $f$
$$\iint \Bigl[-(u_t^2+u_x^2)\frac{\partial}{\partial t} \phi + 2u_xu_t\frac{\partial}{\partial x}\phi \Bigr]dxdt=0$$
В законе сохранения энергии реакция $h$ никак не фигурирует. Если выражаться неформально, то стенка лишь разворачивает скорость, но не изменяет энергию.

Насчет портабельности - не буду спорить. Но мне надо было просто посмотреть, что там происходит. Кроме того, как всегда сначала нужна отладка, поскольку в программе куча ошибок. Опять же не ясно, какую точность выбрать. А как это лучше сделать? Прямо в отладчике смотрим как оно все там.

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
sup в сообщении #955064 писал(а):
В законе сохранения энергии реакция $h$ никак не фигурирует. Если выражаться неформально, то стенка лишь разворачивает скорость, но не изменяет энергию.

Она конечно не меняет полную энергию но плотность энергии меняет. Т.ч. я не уверен что $h$ не фигурирует там (исключая случай, когда $\phi=0$ вблизи контакта.

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 11:58 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Red_Herring в сообщении #955058 писал(а):
Интересно, а как происходят следующие удары—или их может и не быть за счет порождения высших гармоник и соответственно уменьшения амплитуды?

Мне тоже это было интересно :-) Есть удары ! Любопытная картинка. Но я пока не очень доволен. Потому что потом начинается мелкая волна на графике - скорее всего артефакты счета накапливаются. А поначалу все классно. Я даже не ожидал, что так будет. Попробую сделать "как надо" и выложить.

-- Чт янв 01, 2015 15:01:51 --

А вот нет вклада от реакции. И у Шацман нет. А она доказала разрешимость и единственность. Для простой ситуации - первого удара об стенку можно выписать точное решение. Оно простое. Берем "нормальное" решение и все, что выше стенки, зеркально отражаем вниз. Какое-то время это и будет решением.

-- Чт янв 01, 2015 15:04:24 --

В случае, когда есть линия разрыва производных, то отдельно выписываем баланс энергии с одной стороны и с другой стороны. А потом складываем. На линии все сократится.

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
sup в сообщении #955067 писал(а):
Для простой ситуации - первого удара об стенку можно выписать точное решение. Оно простое. Берем "нормальное" решение и все, что выше стенки, зеркально отражаем вниз. Какое-то время это и будет решением.

Не понял: если решение такое то до $t=\pi/2$ прогиб растет а потом убирается?

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 12:20 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Подскажите, куда временно можно выложить картинки. Я сделаю пару-тройку скриншотов.

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 12:45 


10/02/11
6786
sup в сообщении #955067 писал(а):
И у Шацман нет

а как она это интегральное равенство аргументировала?

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 12:56 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Ну вот вроде. Берем 40 гармоник. (черная линия)
Красная линия - синус с отражением.
Первая картинка
http://files.webfile.ru/041165592abf4c4 ... bcb098c186
Сразу после удара.
Через некоторое время струна отходит от стенки. Красная линия - лишь ориентир. Это уже не решение.
http://files.webfile.ru/5d5dbbd13046aa2 ... a81b141255
А вот максимальное отклонение
http://files.webfile.ru/0eeb73a70d4d97a ... aff77b3dbc
После этого струна начинает двигаться в обратную сторону
http://files.webfile.ru/efa8c574e6100a6 ... 34298c5aeb
И вот снова удар
http://files.webfile.ru/f612c27bda7544e ... 2db9b0e37a

-- Чт янв 01, 2015 15:57:38 --

Короче, че-то я тут наворотил :-(


Вложения:
String3.JPG
String3.JPG [ 14.23 Кб | Просмотров: 0 ]
String2.JPG
String2.JPG [ 8.97 Кб | Просмотров: 1993 ]
String.JPG
String.JPG [ 7.52 Кб | Просмотров: 1993 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 13:01 


10/02/11
6786
sup в сообщении #955067 писал(а):
В случае, когда есть линия разрыва производных, то отдельно выписываем баланс энергии с одной стороны и с другой стороны. А потом складываем. На линии все сократится.

а различные значения пробной функции до и после как сократятся?

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 13:03 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Oleg Zubelevich в сообщении #955078 писал(а):
а как она это интегральное равенство аргументировала?

А никак не аргументировала! Просто написала и все.
Но я уже указывал, как его можно получить, когда есть линии разрыва. На линии значения пробной функции и слева и справа совпадают

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 13:04 


10/02/11
6786
sup в сообщении #955085 писал(а):
Но я уже указывал, как его можно получить, когда есть линии разрыва

я не понял, то что Вы выше написали, пожно подробно

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 13:05 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
На линии разрыва производные меняют знак. Но в тождестве они "идут парами", поэтому в целом знак не меняется.

-- Чт янв 01, 2015 16:05:42 --

Хорошо. Сейчас попробую строго расписать.

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 14:33 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Надо различать "свежие" разрывы, которые возникают в момент удара. И "контактные" разрывы - результат эволюции тех самых, исходных. На исходных разрывах для вектора нормали выполняется неравенство $|n_t| > |n_x|$. Это условие означает, что скорость точки разрыва больше скорости распространения возмущений. Дальше уже струна просто отойдет от стенки. Нас будет интересовать именно момент удара и что там будет сразу же после.

На линии разрыва $u=c$. Значит вектор нормали $\bar{n} = (u_t, u_x)$. Если слева и справа решение гладкое, то нормаль слева и справа может отличаться только множителем. Значит на линии разрыва
$u_t(x+0,t) = \lambda u_t(x-0,t), u_x(x+0,t) = \lambda u_x(x-0,t)$
Сохранение энергии означает, что
$$\int (u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t))dx = \operatorname{const} \qquad (*)$$
Пусть линия разрыва одна. Тогда слева и справа от линии выполнено соотношение
$\frac{\partial}{\partial t} (u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t)) - 2\frac{\partial}{\partial x}( u_t(x,t)u_x(x,t)) = 0$
Интегрируем слева и справа, суммируем и учитываем закон сохранения энергии $(*)$. Значит на линии разрыва равен 0 скачок функции
$$u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t) - 2\frac{n_x}{n_t}u_t(x,t)u_x(x,t)$$
Форма знакоопределенная, отсюда следует, что $u_t, u_x$ просто меняют знак.
Отсюда легко следует, что
$\frac{\partial}{\partial t} (u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t)) - 2\frac{\partial}{\partial x}( u_t(x,t)u_x(x,t)) = 0$
во всем цилиндре в смысле распределений. Ну, умножаем на пробную функцию, интегрируем, на линии следы посокращаются.

-- Чт янв 01, 2015 17:49:17 --

Виноват, не заметил реплику.
Red_Herring в сообщении #955072 писал(а):
Не понял: если решение такое то до $t=\pi/2$ прогиб растет а потом убирается?

Некоторое время это будет решением. В точности до того момента, пока точка контакта бежит со скоростью больше 1. Как только скорость станет равна 1, струна отойдет от стенки. И такая простая функция уже не будет решением.

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 15:26 


10/02/11
6786
sup в сообщении #955104 писал(а):
Интегрируем слева и справа, суммируем и учитываем закон сохранения энергии $(*)$. Значит на линии разрыва равен 0 скачок функции
$$u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t) - 2\frac{n_x}{n_t}u_t(x,t)u_x(x,t)$$

это можно подробнее? там Вы наверное используете формулу Грина, потом надо как-то контур стягивать или не надо? как закон сохранения энергии используется?

-- Чт янв 01, 2015 15:27:27 --

sup в сообщении #955104 писал(а):
Это условие означает, что скорость точки разрыва больше скорости распространения возмущений

это ,видимо, гипотеза которую следует включить в определение абсолютно упругого удара или нет? надо же быть уверенным , что на решении так и происходит

 Профиль  
                  
 
 Re: удар частицы об стенку
Сообщение01.01.2015, 15:43 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Рассмотрим цилиндр $(0,1)\times (t_0,t_1)$. Пусть линия разрыва $\Gamma$. Тогда интегрируя соотношения для баланса энергии слева и справа от разрыва и суммируя, получаем
$$\int (u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t))dx \Bigr{|}_{t_0}^{t_1} = \int \limits_{\Gamma} (\delta (u_t^2 + u_x^2)n_t - \delta (2u_t u_x)n_x )d\Gamma$$
где $\delta (\cdot)$ означает скачок на линии разрыва. Левая часть равна 0. Значит и правая тоже.
В силу произвольности $t_0,t_1$ получаем, что под интегралом стоит 0.

-- Чт янв 01, 2015 18:49:11 --

Oleg Zubelevich в сообщении #955109 писал(а):
это ,видимо, гипотеза

Нет. Там нужен более тщательный анализ. Несколько нудно, но "проходимо". Там возникают задачи типа Гурса. Возня всякая. В любом случае, это же модельные рассуждения. Для решений, у которых $u_t,u_x \in L_2(Q)$, линии разрыва все равно толком не определить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 125 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group