2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачник Бугров, Никольский. Векторный анализ.
Сообщение21.12.2014, 01:03 


13/12/14
6
Здравствуйте.

Возникла проблема с задачей по векторному анализу из задачника Бугрова, Никольского. Задача №527. Это самая первая задача в гл. 8 вышеуказанного задачника.

Иходные данные:
$$\int\limits_{S}^{}\frac{ds}{x-y}$$
S - отрезок прямой, проходящей через точки $A(0; -2)$ и $B(4; 0)$

Далее:
- запиываю уравнение прямой, проходящей через точки А и B: $y = s = 0.5x-2$
- записываю дифференциал прямой для вычисления криволинейного интеграла 1го рода: $ds=s'dx = (0.5x-2)'dx = 0.5dx$
Дифференциал прямой: $ds = 0.5dx$

Далее:
подставляю полученные уравнения для y и ds в исходный криволиненый интеграл:
$$\int\limits_{S}^{}\frac{ds}{x-y}=\int\limits_{0}^{4}\frac{0.5dx}{x-y}=\int\limits_{0}^{4}\frac{0.5dx}{x-(0.5x-2)}=\int\limits_{0}^{4}\frac{0.5dx}{x-0.5x+2}=0.5\int\limits_{0}^{4}\frac{1}{0.5x+2}dx=0.5\int\limits_{0}^{4}\frac{1}{0.5(x+4)}dx$$

'0.5' сокращается:
$$\int\limits_{0}^{4}\frac{1}{x+4}$$

Результатом интегрирования полчившегося выражения будет натуральный логарифм: $\ln(x+4)$

Далее в интервале от '0' до '4' получим: $\ln(4+4) - \ln(0+4) = \ln(8) - \ln(4) = \ln(8/4) = \ln(2)$

Т.е. получается ответ: $\ln(2)$
А в задачнике ответ указан: $\sqrt{5}\ln(2)$


Не могу понять, где пропустил корень из 5ки. Подскажите, пожалуйста, в каком напрвлении думать.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачник Бугров, Никольский. Векторный анализ.
Сообщение21.12.2014, 01:08 
Модератор


20/03/14
6969
Оформите все формулы, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачник Бугров, Никольский. Векторный анализ.
Сообщение21.12.2014, 01:21 


19/12/14
13
Ошибка очевидная. Формула такая:
$ds = \sqrt{1+(f'(x))^2}$
В итоге получается:
$ds = \sqrt{1.25} = 0.5\sqrt{5}$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.12.2014, 16:29 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5600
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

denis_r
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачник Бугров, Никольский. Векторный анализ.
Сообщение21.12.2014, 19:35 


13/12/14
6
arhimedius в сообщении #950173 писал(а):
Ошибка очевидная. Формула такая:
$ds = \sqrt{1+(f'(x))^2}$
В итоге получается:
$ds = \sqrt{1.25} = 0.5\sqrt{5}$


arhimedius, Спасибо за ответ.
Можно по-подробнее?

В учебнике (том 3) Бугрова, Николького описана теория для кривролиненых интегралов 1го рода.
В примерах указана функция $F(x, y)$ или $F(x, y, z)$, а так же кривая по которой ведётся интегрирование.

Кривая задаётся параметриески:
$x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$

Далее показано вычисление дифференциала кривой:
$ds=\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}dt$

Потом производится вычисление криволинейного интеграла 1го рода:
$$\int\limits_{S}^{}F(x, y, z)ds=\int\limits_{S}^{}F(x, y, z)\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}dt$$

Я правильно понимаю, что в моём примере необходимо полученное уравнение прямой по которой ведётся интегрирование представить в параметрическом виде?

Уравнение полученной прямой: $s=0.5x-2$
В параметрическом виде:
$x(t)=t$
$y(t)=0.5t-2$
Дифференциал прямой:
$ds=\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}dt=\sqrt{1 + 0.5}dt=\sqrt{1.25}dt$ и т.д...
Далее произведя вычисление интеграла получается $\sqrt{5}\ln(2)$

Почему нельзя использовать выражение дифференциала кривой интегрирования в том 'неправильном' виде, который я изначально написал?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачник Бугров, Никольский. Векторный анализ.
Сообщение21.12.2014, 19:42 
Заслуженный участник


09/05/13
6253
А почему Вы решили, что $y=s$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачник Бугров, Никольский. Векторный анализ.
Сообщение21.12.2014, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18837
Уфа

(Более распространённое дополнение, если вдруг пригодится (удалять не хотелось).)

denis_r в сообщении #950387 писал(а):
Почему нельзя использовать выражение дифференциала кривой интегрирования в том 'неправильном' виде, который я изначально написал?
Если вы о том, что выведено из
denis_r в сообщении #950168 писал(а):
$y = s = 0.5x-2$
то ясно, что исходная формула неверна: длина отрезка между точками с координатами $y_1$ и $y_2$ будет не $|y_2-y_1|$. Оттуда $\sqrt5$ и вылезет — чтобы привести параметризацию через $y$ к нормальной.

Можете нарисовать на прямой засечки в точках с целым игреком — увидите, что они делят её на отрезки длины совсем не единичной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачник Бугров, Никольский. Векторный анализ.
Сообщение21.12.2014, 20:03 


13/12/14
6
Otta в сообщении #950390 писал(а):
А почему Вы решили, что $y=s$?


Я, возможно, в обозначениях некорректен. Под $s$ я имею в виду прямую по которой произвожу интегрирование.
При такой формулировке график параметриеской прямой проходит через заданные в задаче точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачник Бугров, Никольский. Векторный анализ.
Сообщение21.12.2014, 20:17 
Заслуженный участник


09/05/13
6253
denis_r в сообщении #950400 писал(а):
Под $s$ я имею в виду прямую по которой произвожу интегрирование.

Дело в том, что те, кто формулирует задачи и пишет учебники, под $s$ имеют в виду совсем другое. $ds$ - это дифференциальная форма длины дуги кривой, попросту - длина дуги, которая соответствует малому изменению параметра $dt$. Или $dx$. Или что Вы там возьмете за параметр. Это примитивное объяснение, конечно, не для строгого доказательства. Почитайте еще arseniiv выше, он довольно подробно все пытался рассказать.
А вообще в учебниках это обычно хорошо написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачник Бугров, Никольский. Векторный анализ.
Сообщение21.12.2014, 20:59 


13/12/14
6
Otta в сообщении #950409 писал(а):
denis_r в сообщении #950400 писал(а):
Под $s$ я имею в виду прямую по которой произвожу интегрирование.

Дело в том, что те, кто формулирует задачи и пишет учебники, под $s$ имеют в виду совсем другое. $ds$ - это дифференциальная форма длины дуги кривой, попросту - длина дуги, которая соответствует малому изменению параметра $dt$. Или $dx$. Или что Вы там возьмете за параметр. Это примитивное объяснение, конечно, не для строгого доказательства. Почитайте еще arseniiv выше, он довольно подробно все пытался рассказать.
А вообще в учебниках это обычно хорошо написано.


arseniiv,
Otta,
Спасибо за ответы и информацию.
Действительно, глупая ошибка. Когда я рассчитывал $dy=y'dx$, я получал величину приращения функции, вместо длины участка прямой, соответствующего приращению аргумента.
Спасибо ещё раз.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group