2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения в частных производных
Сообщение19.12.2014, 21:46 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Помогите разобраться в решении уравнений в частных производных. Сейчас я решаю такое уравнение:

$y\frac{dz}{dx}-x\frac{dz}{dy}=0$

Выполняю действия, смысл которых не понимаю. Надо свести это уравнение к системе в симметрической записи:

$\frac{dx}{y}=-\frac{dy}{x}=\frac{dz}{0}$

Почему мы составляем ее именно так? Из примеров я понял принцип: знаменатель дифференциалов вида $\frac{dz}{dx}$ делим на то, что умножается на этот дифференциал, но я не понимаю, почему так надо делать. Не вижу, каким способом можно получить исходное уравнение из этой системы.

В общем, решаю первое уравнение:

$\frac{dx}{y}=-\frac{dy}{x}$

$ydy=-xdx$

$\frac{y^2}{2}=-\frac{x^2}{2}+C$

Я все делаю правильно? Что делать дальше?

-- 19.12.2014, 22:57 --

Еще я не понимаю смысл символа $\frac{dz}{0}$. Как может быть дифференциал функции по нулю? Что это значит? В состав дифференциала входит производная - отношение приращения функции к приращению аргумента, а в этой записи получается отношение дифференциала к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в частных производных
Сообщение19.12.2014, 21:58 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Nurzery[Rhymes] в сообщении #949624 писал(а):
Помогите разобраться в решении уравнений в частных производных.
Интересно, но после этой фразы частные производные пропадают начисто: и из записи, и из смысла (частная производная не является отношением двух дифференциалов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в частных производных
Сообщение19.12.2014, 22:07 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Это получается из того, что для этого уравнения существуют кривые, производные вдоль которых нулевые. Эти кривые называются характеристиками, вот симметрический вид как раз их и задает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в частных производных
Сообщение19.12.2014, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Для начала, Вы неправильно записываете частные производные. Следует вместо dписать \partial (с пробелом после) \frac{\partial z}{\partial x}

Теперь по существу: если у Вас уравнение имеет вид $a \frac{\partial z}{\partial x}  + b \frac{\partial z}{\partial y}=0$, то если мы придадим $x,y$ приращения $dx=adt$, $dy=bdt$, то $dz= \frac{\partial z}{\partial x}dx+ \frac{\partial z}{\partial y}dy$ (по правилу дифференцирования сложной функции) т.е. $dz= (a\frac{\partial z}{\partial x}+ b\frac{\partial z}{\partial y})dt=0$. Т.е. это придаёт смысл действиям
Nurzery[Rhymes] в сообщении #949624 писал(а):
Выполняю действия, смысл которых не понимаю.


Теперь, когда Вы получили
Nurzery[Rhymes] в сообщении #949624 писал(а):
$\frac{y^2}{2} + \frac{x^2}{2}=C$

мы видим что интегральные линии "нумеруются" параметром $C$ причём однозначно (ясно, что они окружности, но это не суть важно). И вдоль них $dz=0$ т.е. $z$ постоянно (это Вы забыли). Т.е. $z$ зависит только от линии, но не от положения на ней. А что нумерует линию? $x^2+y^2 $ ($=2C$). Т.е. $z=f(x^2+y^2)$ где $f$ — произвольная функция.

ЧИТАЙТЕ УЧЕБНИК

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в частных производных
Сообщение19.12.2014, 22:17 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Посоветуйте учебник, который я бы почитал. У Краснова и Пискунова этих тем нет. У последнего есть уравнения мат. физики, но по оглавлению я там не увидел уравнений в частных производных. Нашему преподу, похоже, вообще плевать на то, что половина из нас ничего не понимает. Он сам работает в основном в биоинформатике, а универ для него, похоже, просто развлечение, куда он приходит шутковать на парах, рассуждать о превосходстве над гуманитариями и повышать свою значимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в частных производных
Сообщение19.12.2014, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Nurzery[Rhymes] в сообщении #949635 писал(а):
Посоветуйте учебник, который я бы почитал.

А как можно советовать, если не знать Вашего уровня, специальности и прочего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в частных производных
Сообщение19.12.2014, 22:25 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Red_Herring в сообщении #949636 писал(а):
Nurzery[Rhymes] в сообщении #949635 писал(а):
Посоветуйте учебник, который я бы почитал.

А как можно советовать, если не знать Вашего уровня, специальности и прочего?

Посоветуйте не очень сложный. Специальность - компьютерная безопасность, у нас главные предметы - это алгебра и теория чисел, а диффуры не очень важный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в частных производных
Сообщение20.12.2014, 10:01 


10/02/11
6786
Nurzery[Rhymes] в сообщении #949624 писал(а):
производных. Сейчас я решаю такое уравнение:

$y\frac{dz}{dx}-x\frac{dz}{dy}=0$

$z(x,y)$ это первый интеграл системы уравнений $\dot x=y,\quad \dot y=-x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в частных производных
Сообщение20.12.2014, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Уравнения в частных производных 1-го порядка традиционно рассматриваются в учебниках по ОДУ, так что см. учебник Степанова, Филиппова и т.п. по ОДУ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в частных производных
Сообщение20.12.2014, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Brukvalub в сообщении #949772 писал(а):
Уравнения в частных производных 1-го порядка традиционно рассматриваются в учебниках по ОДУ

В России. В США/Канаде это не так. И, разумеется, речь идёт о вещественных уравнениях и о гладких решениях

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group