2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Системы уравнений
Сообщение19.12.2014, 18:52 


15/12/14

108
1) Проверьте, верно ли я решил следующую систему?
$$\left\{\!\begin{aligned}& 3 \cdot 9^{-x} -28 \cdot 3^{-x} + 9 \leq 0, \\& \log_{x^{2} }{(x+2)^{2} \leq 1. }\end{aligned}\right.$$
ОДЗ: $x \ne \pm 1, 2, 0.$
Решаем первое неравенство
$$3 \cdot 9^{-x} -28 \cdot 3^{-x} + 9 \leq 0 \Leftrightarrow 3 \cdot \frac{ 1 }{ 3^{2x} } - \frac{ 28 }{ 3^{x} } +9 \leq 0.$$
$3^{x} = t.$ Решаю кв-ое равенство
$$9t^{2} -28t +3 = 0$$
$t=3, t=1/9$. Отсюда $x=1, x=-2$. Оба не подходят по ОДЗ. Далее решаем второе неравенство
$$\log_{x^{2} }{(x+2)^{2} \leq 1$$
$x=-1$. Тоже не подходит по ОДЗ. В итоге получаем интервал, ввиду которого ответ: $(-2;-1)(-1;0)(0;1).$

2) Тут нуждаюсь в вашей помощи. Нужно решить систему при каждом значении $a$
$$\left\{\!\begin{aligned}& 6x^{2}+17xy+7y^{2}=a, \\& \log_{2x+y }{(3x+7y)} = 3. }\end{aligned}\right.$$
ОДЗ: $2x+y \ne 1 , 2x+y > 0, 3x+7y > 0$. Факторизуем первое равенство и получаем
$$6x^{2}+17xy+7y^{2}=a \Leftrightarrow (3x+7y)(2x+y) = a.$$
Пусть $3x+7y=u , 2x+y=v$. Тогда имеем систему
$$\left\{\!\begin{aligned}& uv=a, \\& \log_{v }{(u)} = 3. }\end{aligned}\right$$
Нахожу $u=a^{3/4}, v=a^{1/4}$. Что делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение19.12.2014, 19:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12871
Москва
Судя по написанному в решении первой задачи, совсем у вас беда с неравенствами...

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение19.12.2014, 19:11 


15/12/14

108
Естественно беда, иначе бы я сюда не писал. Что там не так, помогите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение19.12.2014, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11146
Казань
Так вы просто их решайте, неравенства. А не заменяйте равенствами. Плюньте пока на ОДЗ, и решите первое неравенство в первом задании. Лучше сначала для $t$.

-- 19.12.2014, 19:32 --

Expresss в сообщении #949538 писал(а):
В итоге получаем интервал, ввиду которого ответ:

Загадочная фраза...
Ваш ответ откуда взялся? Вы сами так решили (почему?) или это из задачника?

-- 19.12.2014, 19:44 --

Expresss в сообщении #949538 писал(а):
Нахожу $u=a^{3/4}, v=a^{1/4}$. Что делать дальше?
Проверять ОДЗ и возвращаться к $x,y$

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение19.12.2014, 20:33 


29/09/06
4523
Expresss в сообщении #949538 писал(а):
ОДЗ: $x \ne \pm 1, 2, 0.$
А двоечку за что выкинули из ОДЗ? Вроде я её спокойно поподставлял повсюду, и проходит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение19.12.2014, 20:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11146
Казань
Алексей К. в сообщении #949589 писал(а):
А двоечку за что выкинули из ОДЗ?
Это явно опечатка, ТС имел в виду -2.
Думаю, надо его дождаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение19.12.2014, 20:41 


15/12/14

108
Да, опечатался, там -2. Мне кажется я понял свою ошибку: от равенств надо перейти к неравенствам. То есть, ответ на первое неравенство должен быть -2<x<1. В таком духе все?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение19.12.2014, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11146
Казань
Expresss в сообщении #949595 писал(а):
В таком духе все?
Первое задание - да. А второе вы почти решили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение19.12.2014, 22:36 


15/12/14

108
Получается во втором неравенстве ответ получается все равно x>1. И как бы вот на интервале -2, -1, 0, 1 - точки выколотые. И поэтому я снова в ступоре - ответ не изменился. Помогите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение19.12.2014, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11146
Казань
Expresss в сообщении #949642 писал(а):
Получается во втором неравенстве ответ получается все равно x>1.
Почему "больше"? Ответ у вас с самого начала был правильный.
Кстати, а как вы решаете неравенства, где у логарифма переменное основание? Разбором случаев? Или другим методом (переходом к монотонной функции)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение19.12.2014, 23:34 


15/12/14

108
Тогда почему товарищ Brukvalub сделал мне замечание, если ответ правильный? Типа за отсутствие перехода от равенства к неравенству?

Да, разбираю отдельно каждый случай.

Во второй системе получается $a$ определено на $(-\infty ,0)\cup \{ 1\} $. Далее просто решить одно из равенств? К примеру, $2x + y = a^{1/4} $?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение20.12.2014, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11146
Казань
Expresss в сообщении #949661 писал(а):
Типа за отсутствие перехода от равенства к неравенству?
Да, за это.
Expresss в сообщении #949661 писал(а):
Во второй системе получается $a$ определено на $(-\infty ,0)\cup \{ 1\} $
В смысле "не определено"? Вы как-то любите терять "минусы" :-)
Лучше сказать "не принадлежит".
Expresss в сообщении #949661 писал(а):
Далее просто решить одно из равенств?
Нет, систему равенств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение20.12.2014, 00:56 


15/12/14

108
Понял Вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение20.12.2014, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11146
Казань
То есть как? Вы как из отрицательного числа собираетесь корень четвертой степени извлекать? А если $a=1$, то основание логарифма равно единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы уравнений
Сообщение20.12.2014, 01:03 


15/12/14

108
Ой, я хотел согласиться с Вами, но опечатался )) Значит a принадлежит (0,1) и (1, +inf).

-- 20.12.2014, 02:07 --

Значит теперь остается решить эту систему?
$$\left\{\!\begin{aligned}
& 2x+y=a^{\frac{ 1 }{ 4 } }, \\
& 3x+7y=a^{\frac{ 3 }{ 4 } }
\end{aligned}\right. $$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group