2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 диагональная ковариационная матрица
Сообщение19.12.2014, 15:10 


27/10/09
409
Дамы и Господа!

Возникла необходимость обработки малых многомерных выборок, т.е. когда объем выборки $n$ меньше размерности $m$ этого пространства. Полная задача такая: есть некоторая выборка $X$ векторов размерности $m$ и объема $n$, при этом $n<m$. Нужно оценить, насколько реально, что некоторый вектор $y$ взят из той же совокупности, что и выборка $X$. Работаем в рамках нормальных приближений.
Если бы было $n>m$, то можно было бы оценить центр $a$ и ковариационную матрицу $S$ по выборке, тогда, если $y$ и $X$ взяты из совокупности с многомерным нормальным распределением и одинаковыми центрами и ковариациями, то $f=\frac{n (n-m)}{m \left(n^2-1\right)}(y-a).S^{-1}(y-a)$подчиняется распределению Фишера с $m$ и $n-m$ степенями свободы.
Для случая $n<m$ выборочная ковариационная матрица окажется вырожденной. Но можно принять, что ковариационная матрица является диагональной (волевым решением). Тогда получается основной вопрос: как найти доверительный интервал для $(y-a).S^{-1}.(y-a)$, если известно, что истинная ковариационная матрица диагональная, соответственно, ее оценка $S$ тоже диагональная (внедиагональные элементы зануляются)?

 Профиль  
                  
 
 Re: диагональная ковариационная матрица
Сообщение21.12.2014, 09:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3888
AndreyL в сообщении #949453 писал(а):
Для случая $n<m$ выборочная ковариационная матрица окажется вырожденной. Но можно принять, что ковариационная матрица является диагональной (волевым решением). Тогда получается основной вопрос: как найти доверительный интервал для $(y-a).S^{-1}.(y-a)$, если известно, что истинная ковариационная матрица диагональная, соответственно, ее оценка $S$ тоже диагональная (внедиагональные элементы зануляются)?

Эта штука распределена как $\dfrac{1}{n}\sum_1^m Z_i$, где $Z_i$ независимы и имеют распределение Фишера с $1,\, n-1$ степенями свободы. Можно, наверное, получить моделированием квантили этого распределения, да и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: диагональная ковариационная матрица
Сообщение23.12.2014, 17:25 


27/10/09
409
--mS-- в сообщении #950223 писал(а):
Эта штука распределена как $\dfrac{1}{n}\sum_1^m Z_i$, где $Z_i$ независимы и имеют распределение Фишера с $1,\, n-1$ степенями свободы. Можно, наверное, получить моделированием квантили этого распределения, да и всё.

Да, наверное Вы правы. Забавно, что эта сумма имеет распределение, близкое к Фишеру. По крайней мере для многих пар $n$ и $m$ удается подобрать такие $n_1$, $m_1$ и $\beta$, что $\beta (y-a).S^{-1}.(y-a)$ подчиняется распределению Фишера с $m_1$ и $n_1$ степенями свободы

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group