2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 21:57 
Аватара пользователя


17/10/13
678
Деревня
$f$-гомоморфизм колец $\mathbb{Q} \to \mathbb{C}$. Каким может быть подкольцо $\operatorname{Im} f?$ Перечислите все варианты.
Так как $\mathbb{Q}, \mathbb{C}$ кольца, а $f$- гомоморфизм, то должны выполняться следующие два свойства по определению гомоморфизма: $f(a\oplus b)=f(a)\oplus f(b), f(a\otimes b)=f(a)\otimes f(b)$.
Пока что я определился с нулем: $0_\mathbb{Q} \to 0_\mathbb{C}$, так как $f(0 \cdot a)=f(0)=f(0)(a) \Leftrightarrow f(a) = 1$.
Это означает, что все элементы $\mathbb{Q}$ переводятся в единицу, а $0_\mathbb{Q} \to 0_\mathbb{C}$, но тогда полученное множество не замкнуто $(1+1)$. К тому же, ${\left\lbrace0\right\rbrace}$ сойдет как один из вариантов $\operatorname{Im} f?$
А как действовать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:06 
Заслуженный участник


14/03/10
867
MestnyBomzh в сообщении #949046 писал(а):
$f(0)=f(0)(a) \Leftrightarrow f(a) = 1$. Это означает, что все элементы $\mathbb{Q}$ переводятся в единицу
Вы имеете в виду, $0\cdot f(a)=0$, сокращаем на $0$, получаем $f(a)=1$, правильно я Вас понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:07 
Аватара пользователя


17/10/13
678
Деревня
Нет, здесь я предположил, что ноль переходит в какое-то ненулевое число. И доказал от противного, что этого не может быть

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:14 
Заслуженный участник


08/04/08
8373
Ну $f(0)$ рассмотрели, ладно. Это наш гомоморфизм практически не определяет. Давайте еще рассмотрим $f(\text{что-нибудь интересное})$.
Еще хинт: если бы у нас не было условия на умножение, то сколько бы у нас было решений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:25 
Аватара пользователя


17/10/13
678
Деревня
Единицу? $f(1 \cdot a) = f(1) \cdot f(a) \Leftrightarrow f(1) = 1$. Значит $1_\mathbb{Q} \to 1_\mathbb{C}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21085
Уфа
Теперь складывайте единицы, а потом делите единицу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
MestnyBomzh в сообщении #949079 писал(а):
Единицу? $f(1 \cdot a) = f(1) \cdot f(a) \Leftrightarrow f(1) = 1$. Значит $1_\mathbb{Q} \to 1_\mathbb{C}$

Ну строго говоря ведь не совсем правильный вывод. Как вы его сделали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:36 
Аватара пользователя


17/10/13
678
Деревня
kp9r4d
$f(1 \cdot a) = f(1) \cdot f(a)$ - это по свойству гомоморфизма. Операции умножения и сложения я задал как обычные операции сложение и умножение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
Это правда, а почему из этого следует, что $f(1) = 1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:41 
Аватара пользователя


17/10/13
678
Деревня
Потому что $f(a) = f(1) f(a)$. А $f(a) \ne 0$, значит можем равенство разделить на $f(a)$

-- 18.12.2014, 23:42 --

Рассматриваем $a \ne 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
MestnyBomzh в сообщении #949107 писал(а):
Рассматриваем $a \ne 0$

А почему из $a \neq 0$ следует $f(a) \neq 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:54 
Аватара пользователя


17/10/13
678
Деревня
Да, я уже об этом подумал..
Тогда докажем это: пусть $\exists a: f(a) = 0$. Тогда $f(a \cdot b) = 0$. это означает, что еще и $ab$ переходит в ноль, а значит все элементы переходят в ноль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
Ну значит, да, но разве в этом есть какое-то противоречие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21085
Уфа
Все выразимые как $ab$ или $ba$. Разве кольца достаточно, чтобы это были вообще все?

-- Пт дек 19, 2014 02:00:40 --

Хотя $\mathbb Q$-то поле, чего это я.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм
Сообщение18.12.2014, 23:01 
Аватара пользователя


17/10/13
678
Деревня
Ну этот случай мы отдельно отложим. Скажем, что полученное множество $\left\lbrace0\right\rbrace$ нам подходит. А далее будем рассматривать $\forall a \ne 0 f(a) \ne 0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group