Метод Простых Итераций (СЛАУ)

[Splinter]

помогите справиться с задачей, преподаватель дал на одной из лекций, неделю бьюсь над ней а решить не получается:
Нужно доказать, что метод простых итераций сходится не только в случае, если выполняется условие диагонального преобразования по строкам, но и в случае, если выолняется условие диагонального преобразования по столбцам.
При делении на диагональные элементы строки, на главное диагонале появляются единицы, и при выписке матрицы С заместо всех единиц записываются нули, а главное условие сходимости МПИ является условие что норма С меньше единицы! очень буду благодарен любой помощи по доказательству

[TOTAL]

Splinter писал(а):

Нужно доказать, что метод простых итераций сходится не только в случае, если выполняется условие диагонального преобразования по строкам, но и в случае, если выолняется условие диагонального преобразования по столбцам.

Напишите здесь:
какая задача решается методом простых итераций,
что такое метод простых итераций,
что такое диагональное преобразование по столбцам.

[Splinter]

решается обычная СЛАУ из трех уравнений
метод простых итераций , один из методов решения СЛАУ, строки делятся на диагональный элемент главное диагонали, после чего составляется матрица 3 на 3 и матрица-столбец, в матрице 3 на 3 при выписывании её заместо единиц ставится ноль, 4 столбец матрицы A явлется матрицей-столбцом и обзавем его B, далее идет вычисления по формуле X^(K+1) = B - C*X^K, главное условие сходимости это то, что норма матрицы 3 на 3 ||C|| < 1, считается она таким образом: максимальное из C12+C13, C21+C23 и C31+C32 таким образом получается что ||C|| действительна больше всех остальных сумм, и по необходимому условию должна быть меньше единицы, иначе матрица расходится за N-ое количество шагов, так вот это диагональное преобразование по строкам дальше можно доказать что матрица сходится при конечном количестве шагов, но к сожалению я не умею писать формулы, так что сразу прошу прощения за столь кривое написание формул. Вот у нас получилось диагональное преобразование по строкам, а надо по столбцам, да так что бы норма взятая по столбцам тоже была меньше единицы и доказать что она должна быть меньше единицы чтобы матрица сходилась.
вообще не очень из меня учитель, обьяснять я не умею:(

[worm2]

Помогу правильно сформулировать задачу.
Дана СЛАУ ${\bf Ax = b}$, где:

$${\bf A} = \left(\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right)$$

,

$${\bf b} = \left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)$$

,

$${\bf x} = \left(\begin{array}{c}x^1\\x^2\\x^3\end{array}\right)$$

(неизвестное решение СЛАУ),

Причём известно, что $|a_{11}| > |a_{12}|+|a_{13}|$, $|a_{22}| > |a_{21}|+|a_{23}|$, $|a_{33}| > |a_{31}|+|a_{32}|$. Это свойство матрицы называется диагональным преобладанием по строкам, обратите внимание: не преобразованием, а преобладанием.
Преобразуем исходную систему следующим образом: поделим каждое уравнение на соответствующий диагональный элемент: 1-е уравнение (т.е. строку $(a_{11}\ a_{12}\ a_{13})$ и компонент правой части $b_1$) поделим на $a_{11}$, 2-е уравнение --- на $a_{22}$, 3-е уравнение --- на $a_{33}$. В результате получится какая-то другая матрица (назовём её ${\bf A'}$), у которой единицы на главной диагонали ($a'_{ii}=1$), и какой-то другой вектор правой части (${\bf b'}$). (на занятиях вы для удобства рассматривали расширенную матрицу 3x4, полученную простым приписыванием к матрице ${\bf A}$ вектора ${\bf b}$ справа, но это не меняет сути дела, просто мне привычнее рассматривать их отдельно).
Далее. На лекциях вы рассматривали метод простой итерации, который состоит в том, что выбирается какое-то начальное приближение ${\bf x_0}$ (это тоже вектор, состоящий из компонентов $x_0^1$, $x_0^2$, $x_0^3$). И каждое следующее приближение строится по следующей формуле: ${\bf x_{n+1}}={\bf b'}-{\bf Cx_n}$, где ${\bf C=A'-E}$, ${\bf E}$ --- единичная матрица. Поскольку у матрицы ${\bf E}$ также единицы на главной диагонали (как и у ${\bf A'}$), то их разность ${\bf C}$ будет иметь на главной диагонали нули.
Также на лекциях вы доказывали теорему, что при указанных условиях построенный итерационный процесс сходится к точному решению СЛАУ. Доказательство строится на лемме о сжимающем отображении, которая, в свою очередь, опирается на тот факт, что $||{\bf C||$ (норма матрицы ${\bf C}$) строго меньше 1.
Поэтому вопросы стоят так:
(1) Почему $||{\bf C||$ меньше 1? (это должно было быть у вас в лекциях, на это опирается доказательство)
(2) Почему $||{\bf C||$ будет меньше 1 и в том случае, когда у исходной матрицы ${\bf A}$ будет диагональное преобладание не по строкам, как было у вас на лекции, а по столбцам? Т.е. в том случае, когда $|a_{11}| > |a_{21}|+|a_{31}|$, $|a_{22}| > |a_{12}|+|a_{32}|$, $|a_{33}| > |a_{13}|+|a_{23}|$. Это именно то, что нужно доказать Вам.

Всё, что я до этого сделал --- это просто сформулировал задачу, используя правильные термины, не более. Учитесь правильно формулировать задачу, иначе Вас никто не поймёт!

Как доказать (2)? Во-первых, внимательно посмотреть на доказательство (1) у Вас в конспекте лекций и понять его, и во-вторых, попытаться действовать по аналогии.

[TOTAL]

СЛАУ ${\bf Ax = b}$ записана как $\bf x = \bf Cx + b_1$,
где сумма модулей элементов в каждом столбце матрицы $\bf C $ не превосходит $q < 1$.

Получается итерационный метод $\bf x^{n+1} = \bf Cx^n + b_1$
и соотношение $\bf y^{n+1} = \bf Cy^n$ для погрешности $\bf y^{n} = \bf x^n -\bf x^*$.

Тогда $\sum_i {|y^{n+1}_i|} = \sum_i |{\sum_j c_{ij} y^{n}_j|} \le \sum_i {\sum_j |c_{ij}| |y^{n}_j|} < q \sum_j {|y^{n}_j|}$,
что и означает линейную сходимость со знаменателем $ q $.

[{()}JIer]

А не подскажете, как быть если система не приведена к диагональному преобладанию, заранее большое спасибо))

[PAV]

Тема перенесена в раздел "Численные методы" из "Высшей алгебры"