2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 19:48 
Аватара пользователя


27/03/14
1057
Беларусь, Минская область
Дана функция $u=f(\xi,\eta)$, где $\xi=xy, \eta=\frac{x}{y}$ Найти полные дифференциалы первого и второго порядков.
С первым все понятно, тут действует инвариантность формы:
$$du=\frac{\partial f}{\partial\xi}d\xi+\frac{\partial f}{\partial\eta}d\eta=\frac{\partial f}{\partial\xi}\left( \frac{\partial\xi}{\partial x}dx+\frac{\partial \xi}{\partial y} dy\right)+\frac{\partial f}{\partial \eta}\left(\frac{\partial \eta}{\partial x}dx+\frac{\partial \eta}{\partial y}dy\right)=\frac{\partial f}{\partial \xi}\left(ydx+xdy \right)+\frac{\partial f}{\partial \eta}\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)$$
А как найти второй дифференциал? Я запутался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
При вычислении второго дифференциала $dx, dy$ рассматриваются как константы. А частные производные $f'_1, f'_2$ - как функции тех же переменных, что и $f$. Поэтому, чтобы их продифференцировать, просто перепишите уже найденные выражения, подставив вместо $f$ эти производные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 19:59 
Аватара пользователя


27/03/14
1057
Беларусь, Минская область
provincialka в сообщении #946988 писал(а):
При вычислении второго дифференциала $dx, dy$ рассматриваются как константы. А частные производные $f'_1, f'_2$ - как функции тех же переменных, что и $f$. Поэтому, чтобы их продифференцировать, просто перепишите уже найденные выражения, подставив вместо $f$ эти производные.

Не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Что именно? Что я вместо греческих букв их номера поставила?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 20:10 
Аватара пользователя


27/03/14
1057
Беларусь, Минская область
provincialka в сообщении #947009 писал(а):
Что именно? Что я вместо греческих букв их номера поставила?

Возможно :-) Если вам не сложно, можете это написать в моих обозначениях? Мне такими обозначениями просто удобнее пользоваться, хоть это и бывает громоздко. Но я сразу вижу, производная чего и по чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
$$du=df=\frac{\partial f}{\partial \xi}\left(ydx+xdy \right)+\frac{\partial f}{\partial \eta}\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)$$
Соответственно,
$$d\frac{\partial f}{\partial \xi}=\frac{\partial \frac{\partial f}{\partial \xi}}{\partial \xi}\left(ydx+xdy \right)+\frac{\partial \frac{\partial f}{\partial \xi}}{\partial \eta}\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)$$
Множители перед скобками можно переписать как вторые производные. То же сделать для $\frac{\partial f}{\partial \eta}$ и подставить в формулу дифференциала.... Ой, писать не буду, долго!

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 20:25 
Аватара пользователя


27/03/14
1057
Беларусь, Минская область
А можно ли вот так написать: $$d^2u=d(du)=d\left(\frac{\partial f}{\partial \xi}\right) (ydx+xdy)+\frac{\partial f}{\partial \xi} d(ydx+xdy)+d\left(\frac{\partial f}{\partial \eta}\right)\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)+\frac{\partial f}{\partial \eta}d\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Именно! (только у вас там опечатка, лишний "плюс"). А уже дифференциалы от производных запишите, как я вам показала. Получится громоздко, не спорю.... А кому сейчас легко? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 20:34 
Аватара пользователя


27/03/14
1057
Беларусь, Минская область
provincialka в сообщении #947036 писал(а):
Именно! (только у вас там опечатка, лишний "плюс"). А уже дифференциалы от производных запишите, как я вам показала. Получится громоздко, не спорю.... А кому сейчас легко? :-)

Вопрос такой: $\frac{\partial f}{\partial \xi}$- сложная функция? Я себе немного не представляю, от чего она зависит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
fronnya в сообщении #947042 писал(а):
Вопрос такой: $\frac{\partial f}{\partial \xi}$- сложная функция? Я себе немного не представляю, от чего она зависит?

provincialka в сообщении #946988 писал(а):
частные производные $f'_1, f'_2$ - как функции тех же переменных, что и $f$.
Ну, замените 1 и 2 на $\xi$ и $\eta$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 20:47 
Аватара пользователя


27/03/14
1057
Беларусь, Минская область
Ну ладно.. Почему постоянно навязывают эти обозначения, в универе, тут.. Я попробую записать в них. Раз $f'_1$- сложная функция, то её дифференциал $df'_1$ будет обладать инвариантностью формы. Тогда $$df'_1=\frac{\partial f'_1} {\partial \xi} d\xi +\frac{\partial f'_1}{\partial \eta}d\eta$$ Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
fronnya в сообщении #947055 писал(а):
Почему постоянно навязывают эти обозначения, в универе, тут
Мы старенькие, нам лень.
А если серьезно, нумерация аргументов лишний раз показывает, что неважно, как их обозначить. Важно, что это аргументы функции. Можно, например, писать так: $f(\cdot,\cdot)$ -- сразу видно что это функция от двух аргументов, не важно, как их обозначить.
fronnya в сообщении #947055 писал(а):
Правильно?
Правильно. Но не нужно. Вы же уже выписали дифференциал аналогичной функции $f$. Теперь надо просто подставить вместо нее $f'_\xi$, как я выше показывала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 21:27 
Аватара пользователя


27/03/14
1057
Беларусь, Минская область
Получил вот такое: $$\begin{multline*} 
d^2u=\frac{\partial^2 f}{\partial \xi^2}(ydx+xdy)^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial \xi\partial \eta} (xdy+ydx)\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)+\frac{\partial^2 f}{\partial \eta^2} \left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)^2+ \frac{\partial f}{\partial \xi} d(ydx+xdy)+ \\ 
+\frac{\partial f}{\partial \eta}\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)^2
 \end{multline*}$$
Черт. Почему там ошибка синтаксиса? Я не могу формулу разбить на две строки.

-- 15.12.2014, 20:47 --

Ладно. Получилось так: $$\left(\frac{\partial}{\partial \xi}(xdy+ydx)+\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)\right)^2 f+\frac{\partial f}{\partial\xi}d(xdy+ydx)+\frac{\partial f}{\partial\eta}d\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)$$
Что делать с последними двумя слагаемыми? Как раскрыть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение15.12.2014, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19135
Уфа
Всё по определению дифференциала! (Если доказано, что $d(fg) = df\cdot g + f\cdot dg$ — а иначе придётся немного больше писать.)
$$d(xdy) = d(x)dy + xd(dy) = \left(\frac{\partial x}{\partial x}dx + \frac{\partial x}{\partial y}dy\right)dy + \left(\frac{\partial(dy)}{\partial x}dx + \frac{\partial(dy)}{\partial y}dy\right)x = (dx + 0)dy + (0 + 0)x = dxdy.$$Обычно, правда, сразу замечают, что $dy$ — константа от обоих $x, y$, и используют следствие вышеупомянутого правила Лейбница $d(cf) = cdf$, и пишут коротко: $d(xdy) = dxdy$. Но подробное расписывание пригодится вам с последним слагаемым! (Хотя снова не настолько подробное, но зато это пример.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Полный дифференциал второго порядка сложной функции
Сообщение16.12.2014, 00:23 
Аватара пользователя


27/03/14
1057
Беларусь, Минская область
arseniiv в сообщении #947212 писал(а):
Всё по определению дифференциала! (Если доказано, что $d(fg) = df\cdot g + f\cdot dg$ — а иначе придётся немного больше писать.)
$$d(xdy) = d(x)dy + xd(dy) = \left(\frac{\partial x}{\partial x}dx + \frac{\partial x}{\partial y}dy\right)dy + \left(\frac{\partial(dy)}{\partial x}dx + \frac{\partial(dy)}{\partial y}dy\right)x = (dx + 0)dy + (0 + 0)x = dxdy.$$Обычно, правда, сразу замечают, что $dy$ — константа от обоих $x, y$, и используют следствие вышеупомянутого правила Лейбница $d(cf) = cdf$, и пишут коротко: $d(xdy) = dxdy$. Но подробное расписывание пригодится вам с последним слагаемым! (Хотя снова не настолько подробное, но зато это пример.)

А почему вы написали так, как будто $x$ - это функция $x$ и $y$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group