2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Изоморфизм колец вычетов
Сообщение14.12.2014, 17:22 


10/09/14
260
Здравствуйте. Скажите правильно ли я понимаю, понятие изоморфизма, например есть две алгебраические структуры $\mathbb{Z}$ и кольцо вычетов $\mathbb{Z}_n$ с операциями умножения, т.о. $\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}}$, справедливо $ab\pmod{n}=a\pmod{n}b\pmod{n}$, т.е. в данном случае операция $\pmod{n}$ есть изоморфизм указанных выше алгебраических структур.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение14.12.2014, 17:24 
Заморожен


20/12/10
5623
Это пример гомоморфизма. А изоморфизм --- это взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение14.12.2014, 18:24 


10/09/14
260
А гомоморфизм значит сюрьективное отображение? То есть какому-либо числу элементов из $\mathbb{Z}$ соответствует 1 элемент $\mathbb{Z}_n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение14.12.2014, 19:08 
Заморожен


20/12/10
5623
Viktor92 в сообщении #946276 писал(а):
А гомоморфизм значит сюрьективное отображение?
Нет, не значит. Только сохранение операций. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение14.12.2014, 19:23 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Не выполняется взаимная однозначность, необходимая по условию изоморфизма. Каждому элементу из $Z_n$ соответствует бесконечное множество целых чисел, которые при делении на $n$ дают такой остаток.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 11:21 


10/09/14
260
nnosipov в сообщении #946329 писал(а):
Нет, не значит. Только сохранение операций. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом.

А например обратное отображение из $\mathbb{Z}_n$ в $\mathbb{Z}$, по формуле $\lambda n+a=b$, где $\lambda, b \in{\mathbb{Z}}$, $a\in{\mathbb{Z}_n}$, будет сюрьективным отображением? По определению при таком отображении множества полностью отображаются друг в друга и одному элементу из первого множества, соответствует хотя бы 1 элемент другого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 13:49 
Заморожен


20/12/10
5623
Viktor92 в сообщении #947521 писал(а):
А например обратное отображение из $\mathbb{Z}_n$ в $\mathbb{Z}$
Обратного отображения не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 15:16 
Заслуженный участник


27/06/08
3050
Волгоград
nnosipov в сообщении #947605 писал(а):
Viktor92 в сообщении #947521 писал(а):
А например обратное отображение из $\mathbb{Z}_n$ в $\mathbb{Z}$
Обратного отображения не существует.
Ну уж прям не существует?!
Существует. Причем бесконечно много. И среди них даже один гомоморфизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 15:26 
Заморожен


20/12/10
5623
У отображения $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$, действующего по правилу $a \mapsto [a]_n$, не существует обратного, так как это отображение не является биективным. Я имел в виду только это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 18:35 
Заслуженный участник


27/06/08
3050
Волгоград
nnosipov в сообщении #947671 писал(а):
У отображения $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$, действующего по правилу $a \mapsto [a]_n$, не существует обратного, так как это отображение не является биективным. Я имел в виду только это.
Я ни на секунду не усомнился в Вашей компетентности.
А придрался только из вредности из-за того, что вне контекста (а в отдельно взятом сообщении контекста не было) данное утверждение может смутить менее компетентных форумчан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 18:52 
Заморожен


20/12/10
5623

(Оффтоп)

VAL
Это я так, на автопилоте. К сессии готовлюсь :-) Тут, похоже, компетентности мало, больше терпение требуется. Эти абстракции (даже самые простейшие) с таким трудом сейчас первокурсникам даются. В общем, беда. В эту сессию в двух группах из трёх устрою письменный экзамен, на устный что-то уже сил не хватает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group