2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:04 


20/11/14
89
В задании нужно написать ряд Тейлора в нуле для $\arctg(x)$, найти радиус сходимости и выяснить где он сходится к значениям функции.
Если с первыми двумя пунктами проблем не возникло, то последний решительно не понимаю как делать.
Я так понимаю нужно оценивать остаточный член, но для производной у меня получилось максимум реккурентные соотношения получить:
$(1+x^2)f^{(n+1)}(x)=2nxf^{(n)}(x)+n(n-1)f^{(n-1)}(x) = 0$
Но как из этого путные ограничения на производную получить я не пойму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11080
Казань
Нет, в лоб не надо решать. Вы хотя бы знаете, где этот ряд вообще сходится? И как, кстати, вы его получили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:19 


22/11/10
36
Можно найти производную и воспользоватся геометрической прогрессией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11080
Казань
Ага. А геометрическая прогрессия где будет сходиться?
И как вы будете "возвращаться" к арктангенсу? И нет ли на этот счет какой-нить теоремы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:23 


20/11/14
89
Сходится на $[-1,1]$ (а как кстати проверить на комплексной плоскости граничные точки?)
Получил так: первая производная $\frac{1}{1+x^2}$ который получается если в $\frac{1}{1-x}$ подставить $-x^2$ откуда уже легко будет видеть, что \arctg(x) = $$\sum\limits_{k\geqslant0}^{}\frac{(-1)^k x^{2 k+1}}{2 k+1}$$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11080
Казань
А вам на комплексной надо?
pooh__ в сообщении #945750 писал(а):
Сходится на $[-1,1]$
Это о чем? О геометрической, или об арктангенсе? Я спрашивала о геометрической.
И не торопитесь, давайте решать вопросы последовательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:26 


22/11/10
36
Бесконечная геометрическая прогрессия будет сходиться на (-1;1)
Возвратиться к арктангенсу можно проинтегрировать почленно полученный ряд.
Таким способом можно исследовать на [-1;1].

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:28 


20/11/14
89
О арктангенсе
Геометрическая прогрессия на $(-1,1)$ сходится, ну а для арктангенса по Лейбницу проверил граничные точки просто.
Ну вроде как на $\mathbb{R}$, но на комплексной тоже интересно.

-- 13.12.2014, 22:29 --

fatra меня опережает постоянно :mrgreen:
Правда я без всяких интегрирований

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11080
Казань
fatra, а не поняла, кто автор вопроса? Давайте за него не отвечать, ладно? Он и сам справится.

pooh__
Не будем пока об арктангенсе. Вот, геометрический ряд (а он одновременно степенной) сходится на интервале $(-1; 1)$. Дальше вы его интегрируете, причем почленно. Можно это делать? Есть по этому поводу теорема?

-- 13.12.2014, 21:33 --

pooh__ в сообщении #945760 писал(а):
Правда я без всяких интегрирований

То есть как? А как вы от $\frac{1}{1+x^2}$ к арктангенсу перешли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:38 


20/11/14
89
Для краткости $f(x) := \arctg(x), g(x) := \frac{1}{1+x^2}$, тогда $f^{(n)}(x) = g^{(n-1)}(x)$
Дальше $a_{k}$ - член при $k$-й степени в разложении $f$ и $b_{k}$ тоже для $g$. Тогда $a_{k}k! = f^{(n)}(0) = b_{k-1}(k-1)!$ откуда $a_{k} = \frac{b_{k-1}}{k}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11080
Казань
Нет, так не надо. Сделайте, как сказал fatra.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:41 


20/11/14
89
Проблема в том, что никаких интеграллов и теорем про равномерную сходимость и тд не было;3

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11080
Казань
А все-таки про равномерную вы вспомнили! Это хорошо. Но теоремы нужны, они здорово жизнь облегчают.
Учебник у вас есть?
Посмотрела тему в интернете, довольно халтурно написано. Впрочем, там и арктангенс разбирается.
Все-таки гляньте в учебник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 23:05 


20/11/14
89
Ну собственно с кучей теорем этих замечательных это сделать не сложно.
Но вот как сделать без них?

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда ряд данной функции сходится к ней же
Сообщение13.12.2014, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11080
Казань
А зачем? Ну, повторите их доказательство сами. Я лично этим заниматься не собираюсь. Может, набежит какой-нибудь "любитель"

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group