2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 17:18 


11/04/08
594
Марс
Вот такой простой интеграл надо вычислить
$ I(a) = \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{\cos x }{a+\cos x} dx, ~ a>1 $.
Судя по справочнику (Смолянский, с.75)
$ \int \frac{\cos x }{a+\cos x} dx = x - \frac{2a}{\sqrt{a^2-1}}\arctg[\frac{(a-1)\tg(x/2)}{\sqrt{a^2-1}}] $
(математика дает похожее выражение)
Если подставить сюда $0$ и $2 \pi$, то по формуле Ньютона-Лейбница должны получить значение определенного интеграла $2\pi$ для любого $a$. Однако численное интегрирование первого интеграла дает совсем другое значение, зависящее от $a$.
Беда короче. В чем тут дело может быть? Мне надо получить какое-нибудь попроще выражение для $I(a)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Функция периодическая, четная. Можно разбить на два интеграла : от 0 до $\pi$ и от $\pi$ до $2\pi$ и во втором сделать замену $x=\pi+t$.
Ну, и другое всякое...

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 17:35 
Заслуженный участник


12/08/10
936
Во-первых $ \int \frac{\cos x }{a+\cos x} dx = x - \frac{2a}{\sqrt{a^2-1}}\arctg[\frac{(a-1)\tg(x/2)}{\sqrt{a^2-1}}]+C$
Во-вторых эта формула работает только на тех интервалах где правая часть определенна. Посчитайте ее в точке $x=\pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 17:41 
Заслуженный участник


25/02/08
2833
provincialka
А замену то зачем? Просто вычислять как $\[\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\cos x}}{{a + \cos x}}dx}  = 2\int\limits_0^\pi  {\frac{{\cos x}}{{a + \cos x}}dx} \]$, и тут уже и Ньютон-Лейбниц сработает с тем значением первообразной.

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 17:45 


11/04/08
594
Марс
Да, если $\pi$ подставлять, то еще хуже будет - бесконечность получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Ms-dos4
Ну, автор хотел "по-другому"... После такого преобразования можно не универсальную замену делать, а $t=\tg x$. Ответ будет, наверное, "покороче". Хотя проблема разрыва все равно останется.
А вообще-то по графику видно, что этот интеграл всегда отрицательный.

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 17:52 
Заслуженный участник


25/02/08
2833
spyphy
Чему равен $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2} - \varepsilon } {\mathop{\rm arctg}\nolimits} ({\mathop{\rm tg}\nolimits} (x))\]$? А $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2} - \varepsilon } {\mathop{\rm arctg}\nolimits} (k{\mathop{\rm tg}\nolimits} (x))\]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 17:56 
Заслуженный участник


12/08/10
936

(Оффтоп)

Ms-dos4
По моему вы так только запутаете человека. Еще и с ошибками.

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 17:57 
Заслуженный участник


25/02/08
2833

(Оффтоп)

Null
Очепятка вкралась

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 18:16 


11/04/08
594
Марс
Кажется разобрался. Есть, конечно, сомнения в этой формуле из справочника. Если она не хочет работать при $x = \pi$, то где гарантии, что она работает при $x \to \pi$? Но вообще вроде всё получается
$ \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{\cos x }{a+\cos x} dx = {2\pi} (1 - \frac{a}{\sqrt{a^2-1}}) $

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 18:46 
Заслуженный участник


12/08/10
936
Тут просто надо воспользоваться непрерывностью первообразной. У нашей функции есть непрерывная первообразная на $\mathbb{R}$. и на $(-\pi;\pi)$ мы знаем ее значения. Ее значение на концах равно пределу нашей функции при стремлении к концу.

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 18:53 
Заслуженный участник


25/02/08
2833
spyphy
Да, ваш ответ верен. Но и тот метод даёт верный ответ, т.к. $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2} - \varepsilon } {\mathop{\rm arctg}\nolimits} (k{\mathop{\rm tg}\nolimits} (x)) = {\mathop{\rm sgn}} k \cdot \frac{\pi }{2}\]$, мы имеем $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi  - \varepsilon } {\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\frac{{(a - 1)tg(\frac{x}{2})}}{{\sqrt {{a^2} - 1} }}) = \frac{\pi }{2}\]
$ при $\[a > 1\]$. Т.е. $\[F(\pi ) = \pi  - \frac{{\pi a}}{{\sqrt {{a^2} - 1} }}\]$ и $\[F(0) = 0\]$
Но $\[\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\cos x}}{{a + \cos x}}dx}  = 2[F(\pi ) - F(0)] = 2\pi (1 - \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - 1} }})\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 19:20 


11/04/08
594
Марс
Ms-dos4 в сообщении #945641 писал(а):
Да, ваш ответ верен. Но и тот метод даёт верный ответ

Собственно я вашим методом и считал. Других соображений как считать у меня нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 19:35 
Заслуженный участник


25/02/08
2833
spyphy
Ну так это верно. Сомнения то в чём?

 Профиль  
                  
 
 Re: вычислить интеграл
Сообщение13.12.2014, 20:01 


11/04/08
594
Марс
Для меня это не столь важно, но тем не менее. В формуле Ньютона-Лейбница требуется непрерывность только подынтегральной функции, первообразная же, написано, может быть любой (см. напр., Кудрявцев, с. 472). Поэтому не ясно почему мы не можем её применять. Где-то что-то не сходится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group