2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 15:59 


10/03/13
65
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачами (они похожи):
1. Выяснить геометрический смысл аффинного преобразования, переводящего вершины тетраэдра в центры тяжести противолежащих им граней. У меня получилось такое преобразование:
$\begin{pmatrix}
x'\\ 
y'\\ 
z'
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 
\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\ 
y\\ 
z
\end{pmatrix} + 
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}\\ 
\frac{1}{3}\\ 
\frac{1}{3}
\end{pmatrix}$
Далее привёл к виду: $\begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 
0 & 0 & -\frac{1}{3}
\end{pmatrix}$. Как дальше определить геометрический смысл? В ответе: гомотетия с центром в точке $\left ( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right )$ (ну это видно) и коэффициентом $-\frac{1}{3}$.
Как доказать, что это именно гомотетия? Откуда это следует?

И вторая:
Выяснить геометрический смысл аффинного преобразования $\begin{matrix}
x'=3x-4y,\\
y'=4x+3y,\\
z'=5z
\end{matrix}$. По виду видно, что это поворот, но опять же, как доказать, что это произведение гомотетии с коэф. 5 на поворот вокруг оси $Oz$ на угол $\arccos \frac{3}{5}$ (как вывести этот арккосинус?)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Dellghin в сообщении #945548 писал(а):
Как доказать, что это именно гомотетия? Откуда это следует?
Вам геометрически или на матрица? Ну, найдите собственные значения и вектора, что ли.

-- 13.12.2014, 16:22 --

Dellghin в сообщении #945548 писал(а):
гомотетия с центром в точке $\left ( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right )$ (ну это видно)

А почему видно? Я по вашей матрице не вижу :o
Вы уверены, что правильно ее посчитали?

А координаты у вас какие? Оси вдоль ребер тетраэдра?

-- 13.12.2014, 16:32 --

Подозреваю, что в ответе центром гомотетии является центр тетраэдра. А не центр одной из граней, как у вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 16:35 


10/03/13
65
provincialka в сообщении #945558 писал(а):
Вам геометрически или на матрица? Ну, найдите собственные значения и вектора, что ли.

Собственные числа $-\frac13$ и $-\frac23$, собственный вектор $(1,1,1)$.
provincialka в сообщении #945558 писал(а):
А почему видно? Я по вашей матрице не вижу :o
Вы уверены, что правильно ее посчитали?

Подставить $(0,0,0)$ и получим $(\frac13, \frac13, \frac13)$ (там ещё столбец же).
provincialka в сообщении #945558 писал(а):
А координаты у вас какие? Оси вдоль ребер тетраэдра?
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Dellghin в сообщении #945572 писал(а):
Подставить (0,0,0) и получим (1/3, 1/3, 1/3) (там ещё столбец же).
Это-то я вижу. Вопрос, что такое, по-вашему, гомотетия. И что такое ее центр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 16:41 


10/03/13
65
Вижу, что не прав на счёт $(\frac13, \frac13, \frac13)$, но когда выводил, там при подставлении $(0, 0, 0)$ получалось $(\frac13, \frac13, \frac13)$, так как вершина перешла в центр тяжести той грани. Как тогда это исправить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Нет, как раз свободные члены у вас посчитаны правильно. Вот матрица не та. Когда та - это сразу видно.
Давайте все-таки постепенно. Ответьте на такие вопросы.
1. В какую точку ваше преобразование переводит вектор $(1;0;0)$?
2. Куда - остальные вершины
3. (это потом):
provincialka в сообщении #945574 писал(а):
что такое, по-вашему, гомотетия. И что такое ее центр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 16:55 


10/03/13
65
1. $(0, \frac13, \frac13)$
2. $\begin{matrix}
(0, 0, 0) - (\frac13, \frac13, \frac13)\\ 
(0, 1, 0) - (\frac13, 0, \frac13)\\ 
(0, 0, 1) - (\frac13, \frac13, 0)
\end{matrix}$
3. Гомотетия - растяжение плоскости (т.е. $|\vec{OM'}| = k|\vec{OM}|$)
Её центр - точка, координаты которой в ходе преобразования не меняются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Dellghin в сообщении #945585 писал(а):
Её центр - точка, координаты которой в ходе преобразования не меняются.
Вот! Но про это потом.
Мы уже поняли, что преобразование имеет вид
$$\begin{pmatrix}
x'\\ 
y'\\ 
z'
\end{pmatrix} = 
A
\begin{pmatrix}
x\\ 
y\\ 
z
\end{pmatrix} + 
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}\\ 
\frac{1}{3}\\ 
\frac{1}{3}
\end{pmatrix}$$
Какой вид имеет первое слагаемое (вектор) для каждой вершины (кроме нулевой)? Вычтите из координат векторов $(x',y',z')$ свободный член $(\frac13,\frac13,\frac13)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 17:15 


10/03/13
65
provincialka в сообщении #945593 писал(а):
Какой вид имеет первое слагаемое (вектор) для каждой вершины (кроме нулевой)?

Не понял...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Да, старалась быть краткой. Ну, вы нашли, куда переходят вершины? Вот и вычитите из каждой свободный член (векторный, то есть $(\frac13,\frac13,\frac13)$). Получите первое слагаемое. А там и до матрицы $A$ недалеко. Вы ее раньше неверно нашли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 19:24 


10/03/13
65
Действительно, ошибся. Изначально я забыл вычесть $\frac13$. Вот вроде бы правильная матрица:
$\begin{pmatrix}
-\frac{1}{3} & 0 & 0\\ 
0 & -\frac{1}{3} & 0\\ 
0 & 0 & -\frac{1}{3}
\end{pmatrix}$

То есть $\begin{matrix}
x'=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\\ 
y'=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\\ 
z'=-\frac{1}{3}z+\frac{1}{3}
\end{matrix}$. Тогда приравняем старые и новые координаты и получим неподвижную точку гомотетии: $(\frac14, \frac14, \frac14)$ - точка пересечения прямых, соединяющих вершину и центр тяжести противолежащей грани. И отсюда видно, что коэф. гомотетии равен $-\frac13$.
Как быть со второй задачей?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.12.2014, 20:14 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Dellghin
Оформите, пожалуйста, формулы по всей теме.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.12.2014, 20:25 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение13.12.2014, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Dellghin в сообщении #945657 писал(а):
Как быть со второй задачей?

А чем можно пользоваться? разве общий вид матрицы поворота на угол $\varphi$ неизвестен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение преобразования по виду матрицы
Сообщение14.12.2014, 07:33 


10/03/13
65
Опять всё просто... $\begin{matrix}
x'=5 ( \frac35x - \frac45 y ) \\ 
y'=5 ( \frac45x + \frac35 y ) \\ 
z'=5z
\end{matrix}$ Надо вынести 5 и тогда понятно, что это поворот вокруг $Oz$ на угол $\arccos \frac35$ и гомотетия с коэф. 5. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group