2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:07 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Здравствуйте, есть/будут несколько вопросов по тригонометрия, прошу Вашей помощи, чтоб в них разобраться.
Вопрос 1.
Каким квантором связано $n$ в определениях функций $\mathrm{Arcsin} \, x$ и $\mathrm{Arccos} \, x$?
$$ \forall x \in [-1; 1] \quad \forall n \in \mathbb Z \colon \mathrm{Arccos} \, x := \pm \arccos x + 2 \pi n $$
$$ \forall x \in [-1; 1] \quad \exists n \in \mathbb Z \colon \mathrm{Arccos} \, x := \pm \arccos x + 2 \pi n $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
Там $\pm$ пропущен.
Но если его вписывать, тоже потребуется указать, как выбрать знак.

А вообще запись не очень корректная. $\operatorname{Arccos} x$ это так называемая многозначная функция, "Значением" которой является не конкретное число, а все множество. Впрочем, этот момент можно трактовать и по-другому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:30 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Спасибо, поправил. А как указать какой знак?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
Так может быть любой. То есть или-или. Каким знаком "или" обозначается?
А насчет первого вопроса про квантор: ну уж, сами сообразите. Раз вы такой специалист по формализации :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:35 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Разве знак $\pm$ не трактуется как "$+$ или $-$"?

-- 12.12.2014, 23:36 --

provincialka в сообщении #945191 писал(а):
Раз вы такой специалист по формализации :D

Каждый сходит с ума по-своему

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:59 
Аватара пользователя


11/06/12
6827
Минск
Да, трактуется. Так что, прямо так и пишем: $\pm$. Никаких проблем ;-) Если очень хочется, можно написать два выражения, а между ними значок $\lor$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 23:04 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Aritaborian, благодарю Вас

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение13.12.2014, 01:00 
Аватара пользователя


01/12/06
504
Кишинёв
Там кажется должно быть $\pi n$ вместо $2\pi n$, если все же, например, $\left(0,\frac{3\pi}{2}\right)\in\operatorname{Arccos}.$ Определите $\operatorname{Arccos}$ как отношение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 10:16 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Здравствуйте, в продолжение темы:
Вопрос 2.
В литературе по элементарной математике встречаются два варианта записи формул по тригонометрии: с допустимыми значениями (1) и без (2), например,
$$ 1 + \tg \alpha \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \qquad \left( \forall \alpha, \beta \in \mathbb R, \quad \alpha, \beta \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z \right), \quad (1) $$
$$ 1 + \tg \alpha \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}. \quad (2) $$
Могут ли при преобразованиях возникнуть случаи, когда эти области определения могут пригодится? Могу ли я быть уверен, что бесплатно используя формулы из учебника, я в итоге не получу новых корней или потеряю старые? Надеюсь, что я правильно выразился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 10:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12664
В этом случае области определения правой и левой части совпадают, так что применение этой формулы именно в таком виде не приведёт к изменению множества корней. Вот если формулу переписать как $(1 + \tg \alpha \tg \beta) \cdot \cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha-\beta)$, то необходимо тащить с собой область определения левой части, иначе могут появиться постронние корни. А при применении справа налево — пропасть :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 11:15 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Спасибо, т. е. в общем случае:
$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb R \colon 1 + \tg \alpha \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta},$$
ведь можно сказать, что неопределённость = неопределённость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
Слово "неопределенность" здесь не совсем подходит. Это термин и он имеет определенное значение. Но в общем я с вами согласна: если левая и правая часть имеют одинаковые области определения и равны там, где обе существуют, то это тождество. Но другие люди могут иметь свое мнение по этому поводу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12664
Я говорил лишь про совершенно школьные правила применения преобразований выражений. Вы, похоже, строите некую формализованную теорию. Но слово "неопределённость" имеет определённый смысл. А Вы, мне кажется, употребляете его в таком смысле: "две функции называются равными, если у них совпадают области определения и в каждой их точке значения функций равны." Можно сказать так, что если в некотором тождестве не указана область его применения, то по умолчанию она равна пересечению областей опредделения всех функций (в тч сложных), входящих в выражение. В своей теории Вы можете по разному определять равенство в точке, но по Вашему в нуле $1/x=1/x^2$, что как то не выглядит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
gris в сообщении #955057 писал(а):
но по Вашему в нуле $1/x=1/x^2$, что как то не выглядит.
Почему? Вполне нормально. На нет и суда нет.
Другое дело, когда области определения левой и правой частей не совпадают. Тогда тождество, записанное "для всех $x,y$" может стать источником ошибок. У меня так случилось и я даже написала статейку для школьников об этом. В "Математика в школе".

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12664
provincialka, согласен :D

(Оффтоп)

Как хорошо с утра на кухне.
Все спят, салаты и вино
остались, хоть и некрасивы,
но вкусны. Можно в форум
сходить, не опасаясь криков,
что Модный приговор
начался, у дитя уроки,
собака просится и вообще.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group