2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Приводимость многочлена. Проверка док-ва
Сообщение12.12.2014, 17:45 


20/11/14
89
Когда $x^n-2$ неприводим над $\matbb{Q}$
Я утверждаю что при любых $n$
По лемме Гаусса приводимость над $\mathbb{Q}$ это тоже самое что приводимость над $\mathbb{Z}$
пусть $x^n-2 = (a_{0}+..+a_{m}x^m)(b_{0}+..+b_{n-m}x^{n-m})$
Можно считать, что $a_{0} = 2, b_{0}=-1$.
Рассмотрим это дело по модулю 2 станет ясно, что первый многочлен целиком делится на 2 что будет противоречить делимости на 2 исходного многочлена.

Вопрос в том насколько это корректно и еще можно ли обойтись без леммы Гаусса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводимость многочлена. Проверка док-ва
Сообщение12.12.2014, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
pooh__ в сообщении #945010 писал(а):
Когда $x^n-2$ неприводим над $\matbb{Q}$
Я утверждаю что только при n=1
По лемме Гаусса приводимость над $\mathbb{Q}$ это тоже самое что приводимость над $\mathbb{Z}$
пусть $x^n-2 = (a_{0}+..+a_{m}x^m)(b_{0}+..+b_{n-m}x^{n-m})$
Можно считать, что $a_{0} = 2, b_{0}=-1$.
Рассмотрим это дело по модулю 2 станет ясно, что первый многочлен целиком делится на 2 что будет противоречить делимости на 2 исходного многочлена.

Вопрос в том насколько это корректно и еще можно ли обойтись без леммы Гаусса.

Начнем с того, что вы утверждали одно, а доказали другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводимость многочлена. Проверка док-ва
Сообщение12.12.2014, 18:01 


20/11/14
89
Действительно при $n=1$ он тоже неприводим :mrgreen:
Теперь верно или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводимость многочлена. Проверка док-ва
Сообщение12.12.2014, 18:02 
Заморожен


20/12/10
5623
pooh__ в сообщении #945010 писал(а):
Рассмотрим это дело по модулю 2 станет ясно, что первый многочлен целиком делится на 2 что будет противоречить делимости на 2 исходного многочлена.
Напишите-ка Вы это подробно. Слышали ли Вы про критерий Эйзенштейна? (Если нет, то не лезьте за ним в гугл, попробуйте сами изобрести).

-- Пт дек 12, 2014 22:04:48 --

pooh__ в сообщении #945022 писал(а):
Действительно при $n=1$ он тоже неприводим :mrgreen:
Это мелочи жизни. Как и лемма Гаусса в данном случае (без неё можно обойтись).

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводимость многочлена. Проверка док-ва
Сообщение12.12.2014, 18:06 


20/11/14
89
Получаем
$x^n\equiv (a_{1}x+..+a_{m}x^m)(1+b_{1}x+..+b_{n-m}x^{n-m}) (\mod 2)$

Откуда $a_{1} \equiv 0$ и так далее со всеми $a_{i}$ до $a_{n}$
Да, слышал про него, но как его здесь применить?
P.S.
Прошу прощения, я неправильно его помнил. Стало ясно как его применять.
Но все же как обойтись без леммы Гаусса и корректно ли мое док-во.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводимость многочлена. Проверка док-ва
Сообщение12.12.2014, 18:10 
Заморожен


20/12/10
5623
pooh__ в сообщении #945027 писал(а):
Да, слышал про него, но как его здесь применить?
Шутите? В лоб! То рассуждение, что Вы привели, по существу и является доказательством этого критерия. (Естественно, лемма Гаусса подразумевается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводимость многочлена. Проверка док-ва
Сообщение12.12.2014, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
pooh__ в сообщении #945010 писал(а):
Когда $x^n-2$ неприводим над $\matbb{Q}$
Я утверждаю что только при n=1
...
Вчитайтесь в себя!

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводимость многочлена. Проверка док-ва
Сообщение12.12.2014, 18:11 


20/11/14
89
Brukvalub в сообщении #945030 писал(а):
pooh__ в сообщении #945010 писал(а):
Когда $x^n-2$ неприводим над $\matbb{Q}$
Я утверждаю что только при n=1
...
Вчитайтесь в себя!


Ох действительно, сейчас исправлю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводимость многочлена. Проверка док-ва
Сообщение12.12.2014, 18:17 
Заморожен


20/12/10
5623
pooh__ в сообщении #945027 писал(а):
Получаем
$x^n\equiv (a_{1}x+..+a_{m}x^m)(1+b_{1}x+..+b_{n-m}x^{n-m}) (\mod 2)$

Откуда $a_{1} \equiv 0$ и так далее со всеми $a_{i}$ до $a_{n}$
На экзамене к этому тексту я бы попридирался (подробностей маловато), но с идейной точки зрения всё окей.

Без леммы Гаусса: нужно возиться с комплексными корнями многочлена $x^n-2$. Не буду Вас лишать удовольствия сообразить самостоятельно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group