2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 19:09 


24/03/11
198
Уважаемые форумчане!
Помогите, пожалуйста, разобраться в следующей задаче.

Задача.
Дано: $z=\cos\varphi+i\sin\varphi, \varphi\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}$. Найти $\arg{(i+z^n)}$.

Вот, что получается: $$i+z^n=i+\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)=\cos(n\varphi)+i(1+\sin(n\varphi)).$$Таким образом, $\arg{(i+z^n)}=\arctg{(\frac{1+\sin(n\varphi)}{\cos(n\varphi)})}$. Что с этим дальше делать, не понятно.

Я, конечно, пробовал как-то преобразовать выражение, но ничего дельного не получается. Дошел до того, что $$\arg{(i+z^n)}=\frac{1}{2}(\pi-\arccos{(\sin{(n\varphi)})}).$$ Но чему равен $\arccos{(\sin{(n\varphi)})}$, тоже неясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Не проверяла выкладки, но что касается $\arccos(\sin(\alpha))=\beta$ - найдите $\cos\beta$ и решите уравнение.

Кстати, вы слишком вольно обращаетесь с аргументом. Формула не совсем та.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 19:38 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ZumbiAzul в сообщении #944401 писал(а):
Задача.
Дано: $z=\cos\varphi+i\sin\varphi, \varphi\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}$. Найти $\arg{(i+z^n)}$.
Вот что, оказывается, можно приготовить из безобидной и хорошо известной задачи: найти тригонометрическую форму числа $1+\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 19:44 


24/03/11
198
provincialka в сообщении #944411 писал(а):
Кстати, вы слишком вольно обращаетесь с аргументом. Формула не совсем та.

А какая? :-)
nnosipov в сообщении #944416 писал(а):
Вот что, оказывается, можно приготовить из безобидной и хорошо известной задачи: найти тригонометрическую форму числа $1+\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}$.

Каков алгоритм решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 19:48 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ZumbiAzul в сообщении #944420 писал(а):
Каков алгоритм решения?
Начните с воспоминаний о школьных тригонометрических тождествах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
ZumbiAzul в сообщении #944420 писал(а):
А какая?
А никакой. Там надо случаи рассматривать. Ведь $\arctg$ меняется от $-\pi/2$ до $\pi/2$, а аргумент пробегает целый круг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 20:03 


24/03/11
198
provincialka в сообщении #944432 писал(а):
А никакой. Там надо случаи рассматривать. Ведь $\arctg$ меняется от $-\pi/2$ до $\pi/2$, а аргумент пробегает целый круг.

Ясно, спасибо!)

nnosipov в сообщении #944425 писал(а):
Начните с воспоминаний о школьных тригонометрических тождествах.

Ну вот, что-то повспоминал, правильно решение? :-)

$1+\cos\alpha+i\sin\alpha=(\cos 0+cos\alpha)+i(\sin 0+\sin\alpha)=2\cos\frac{\alpha+0}{2}\cos\frac{\alpha-0}{2}+i\cdot2\sin\frac{\alpha+0}{2}\cos\frac{\alpha-0}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2})$.

Таким образом, аргумент равен $\alpha/2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 20:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ZumbiAzul в сообщении #944435 писал(а):
Таким образом, аргумент равен $\alpha/2$.
В общем. да. Надо только оговорить, что $\alpha$ должно быть таким, чтобы $\cos{(\alpha/2)}$ был положительным. Иначе формулу нужно слегка докрутить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 20:19 


24/03/11
198
nnosipov в сообщении #944439 писал(а):
В общем. да. Надо только оговорить, что $\alpha$ должно быть таким, чтобы $\cos{(\alpha/2)}$ был положительным. Иначе формулу нужно слегка докрутить.

Но если он будет отрицательным, то аргумент все равно останется таким же, как я его и нашел, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 20:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ZumbiAzul в сообщении #944447 писал(а):
Но если он будет отрицательным, то аргумент все равно останется таким же, как я его и нашел, да?
Нет. Выучите определение аргумента комплексного числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 20:43 


24/03/11
198
nnosipov в сообщении #944451 писал(а):
Нет

Если $\cos\alpha/2<0,$ тогда аргумент будет $\pi-\alpha/2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 20:45 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ZumbiAzul в сообщении #944468 писал(а):
Если $\cos\alpha/2<0,$ тогда аргумент будет $\pi-\alpha/2$?
Опять нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Если косинус будет отрицательным, то что будет модулем числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 20:57 


24/03/11
198
provincialka в сообщении #944476 писал(а):
Если косинус будет отрицательным, то что будет модулем числа?

Если "минус" вынести за скобки, то модуль станет отрицательным. Хм... Правильно ли я понимаю, что чтобы косинус сделать опять положительным, надо использовать формулы приведения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти arg(i+z^n)
Сообщение11.12.2014, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
ZumbiAzul в сообщении #944482 писал(а):
Если "минус" вынести за скобки, то модуль станет отрицательным
Не уверена, что поняла, о чем вы.
ZumbiAzul в сообщении #944482 писал(а):
надо использовать формулы приведения
Можно и так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group