2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оператор на дереве
Сообщение10.12.2014, 20:14 
Аватара пользователя


28/04/14
613
матмех спбгу
Пусть $\Gamma$ - бесконечное однородное неориентированное дерево степени $k \geq 3$ со счетным числом вершин. Пронумеруем вершины дерева натуральными числами. Пусть $M = \{a_{mn}\}_{m,n=1}^{\infty}$ - матрица инцидентности дерева $\Gamma$. Зададим оператор $T: l^2 \to l^2$, такой что $$\left(T\left(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\right)\right)_m = \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{mn}x_n.$$
То есть, $(Tx)_m$ это сумма всех $k$ соседей вершины с номером $m$. Нужно найти норму $\|T\|$ и спектр $\sigma(T)$ оператора $T$.

Покажем ограниченность $T$:
$$\|Tx\|^2 = \sum\limits_{m=1}^{\infty}|(Tx)_{m}|^2 \leq k^2\sum\limits_{m=1}^{\infty}|y_m|^2,$$
где $y_m$ - наибольший из соседей вершины с номером $m$. В свою очередь, каждый $y_m$ имеет ровно $k$ соседей, так что
$$\sum\limits_{m=1}^{\infty}|y_m|^2 \leq k\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^2.$$
Таким образом,
$$\|Tx\| \leq k^{\frac{3}{2}}\|x\|.$$
Заметим, что матрица инцидентности $M$ - это матрица оператора $T$ в стандартном базисе $l^2$. Она вещественная, так что оператор $T$ - самосопряженный. Известно, что спектр самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве - вещественный. Также известно, что $\sigma(T) \subset \overline{B}_{\mathbb{C}}(0,\|T\|).$

На этом мои продвижения в решении задачи заканчиваются. Пока не удается даже вычислить норму. Оценка с константой $k^{\frac{3}{2}}$, как мне кажется, довольно грубая. Подобраться с помощью различных подстановок не получается даже к $\sqrt{k}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор на дереве
Сообщение10.12.2014, 20:56 
Заслуженный участник


14/03/10
867
demolishka в сообщении #943853 писал(а):
Пусть $M = \{a_{mn}\}_{m,n=1}^{\infty}$ - матрица инцидентности дерева $\Gamma$. Зададим оператор $T: l^2 \to l^2$, такой что $\left(T\left(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\right)\right)_m = \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{mn}x_n.$ То есть, это сумма всех соседей вершины с номером $m$.
Не очень понятно, что Вы имеете в виду. Мне кажется, под выделенными фрагментами Вы имели в виду либо "матрица смежностей дерева" либо "сумма концов ребра с номером $m$". Впрочем, ход решения тоже не сказать, что ясен:
demolishka в сообщении #943853 писал(а):
где $y_m$ - наибольший из соседей вершины с номером $m$.
Имеете в виду, что номер вершины $y_m$ наибольший? Но номера вершин в Вашем определении не суммируются (и они могут быть сколь угодно большими, поэтому из Вашей оценки не следует даже ограниченности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор на дереве
Сообщение10.12.2014, 21:19 
Аватара пользователя


28/04/14
613
матмех спбгу
Основной момент это то, что:
Цитата:
$(Tx)_m$ это сумма всех $k$ соседей вершины с номером $m$

Поясню: вершины дерева занумерованы и каждая последовательность из $l^2$ задает вес в вершинах с номерами соответствующим номерам элементов последовательности. Оператор строит новую последовательность, беря сумму всех $k$ соседей вершины с номером $m$, не считая самой вершины.

В этом случае задание оператора удобней делать именно матрицей инцидентности($a_{nm} = 1$, если $n$-ая вершина и $m$-ое ребро инциденты и $a_{nm} = 0$ иначе). Да, я забыл упомянуть нумерацию ребер в дереве. Предполагается, что номер ребра определяется по номеру вершины, в которую оно входит.

patzer2097 в сообщении #943906 писал(а):
Имеете в виду, что номер вершины $y_m$ наибольший? Но номера вершин в Вашем определении не суммируются (и они могут быть сколь угодно большими, поэтому из Вашей оценки не следует даже ограниченности).

Теперь, исходя из моего пояснения должно быть ясно, что у вершины с номером $m$ есть ровно $k$ соседей с весами $x_{m_1},\ldots,x_{m_k}$. Вот $y_m$ - наибольший из таких весов (вернее их модулей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор на дереве
Сообщение10.12.2014, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4474
По-моему, эта задача рассматривается в разделе 12.6 книги Davies E. B., Linear Operators and their spectra.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор на дереве
Сообщение10.12.2014, 21:31 
Заслуженный участник


14/03/10
867
demolishka в сообщении #943930 писал(а):
сумму всех $k$ соседей вершины с номером $m$, не считая самой вершины
т.е. сумму "весов" или все-таки сумму номеров? Если первое, то с Вашей формулой задающей $T$ все будет в порядке, если $A$ - это матрица инцидентности. А если второе - то оператор, конечно, не обязан быть ограничен.
demolishka в сообщении #943930 писал(а):
Предполагается, что номер ребра определяется по номеру вершины, в которую оно входит.
Дело как раз в том, что номер вершины определяет ребро неоднозначно. Ведь ребер, инцидентных заданной вершине, может быть несколько.

Мне все-таки кажется, что с формулой
demolishka в сообщении #943853 писал(а):
$$\left(T\left(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\right)\right)_m = \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{mn}x_n.$$
все в порядке, только $m$ должны быть вершинами а не ребрами, а $A$ - матрицей смежности. Во всяком случае, получится понятная конструкция и не придется нумеровать ребра.

-- Ср дек 10, 2014 21:43:55 --

g______d в сообщении #943937 писал(а):
По-моему, эта задача рассматривается в разделе 12.6 книги Davies E. B., Linear Operators and their spectra.
Точно. Кстати, книга есть в интернете в свободном доступе. Что еще более удивительно, E.B.Davies тоже пишет incidence matrix, когда имеет в виду adjacency matrix.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор на дереве
Сообщение10.12.2014, 21:52 
Аватара пользователя


28/04/14
613
матмех спбгу
Цитата:
Дело как раз в том, что номер вершины определяет ребро неоднозначно. Ведь ребер, инцидентных заданной вершине, может быть несколько.

Это так. Но я опять забыл упомянуть: если выделить корень (например, вершину с номером 1), то получим, что в каждую вершину входит ровно одно ребро(в направление движения от корня к этой вершине). И как я понял выделять корень и вводить понятие расстояния так или иначе придется, потому что в книге
g______d в сообщении #943937 писал(а):
Davies E. B., Linear Operators and their spectra.

это используется для оценки нормы. Которая получилась $2\sqrt{k-1}$.
С другой стороны, вроде бы я умею получать нечто похожее с помощью теста Шура. Так что расстояние может быть и не пригодится.

g______d, спасибо Вам за ссылку на книгу.

Цитата:
т.е. сумму "весов" или все-таки сумму номеров?

Да, именно весов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group