2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Типы отображений
Сообщение08.12.2014, 19:23 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Мне всегда трудно было уловить разницу между типами отображений, потому что везде эта тема объясняется очень бегло и поверхностно. Помогите, наконец, увидеть эту разницу и запомнить, чем различаются типа отображений.

Рассмотрим отображение $f:A \to B$
1) С биекцией все понятно. Это взаимно однозначное отображение, каждый элемент из $A$ имеет образ в $B$, а каждый элемент из $B$ имеет единственный прообраз в $A$. Биективность отображения говорит о том, что существует обратное к нему отображение.

2) Отображение называется сюръективным, если $f(A) = B$. О чем это мне должно сказать? Сколько образов может иметь элемент из $A$ и сколько прообразов может иметь элемент из $B$? Раз это не оговаривается, то любое количество?

3) Отображение называется инъективным, если образы различных элементов различны. Если так, то каждый элемент из $B$ имеет единственный образ в $A$, иначе не выполнялось бы условие "образы различных элементов различны". Самое странное отображение. В чем его отличие от сюръекции и биекции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Типы отображений
Сообщение08.12.2014, 19:38 


27/11/14

19
Nurzery[Rhymes] в сообщении #942562 писал(а):
2) Отображение называется сюръективным, если $f(A) = B$. О чем это мне должно сказать? Сколько образов может иметь элемент из $A$ и сколько прообразов может иметь элемент из $B$? Раз это не оговаривается, то любое количество?

Может мне и рано отвечать на подобные вопросы, но все же. Отображение является сюръективным, если каждый элемент множества A является образом хотя бы одного элемента множества B; то есть функция принимает все возможные значения: для всякого и без исключения --- в противном функция не сюръекьтивна. То есть вопрос "сколько" уже можно считать исчерпанным.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #942562 писал(а):
3) Отображение называется инъективным, если образы различных элементов различны. Если так, то каждый элемент из $B$ имеет единственный образ в $A$, иначе не выполнялось бы условие "образы различных элементов различны". Самое странное отображение. В чем его отличие от сюръекции и биекции?

Очень странная формулировка. Отображение является инъективным, если два образа при отображении совпадают, то совпадают и прообразы --- всего-то. То есть для каждого у из У определен единственный х из Х.

Я лично так это понимаю. Хотелось бы тоже разобраться, если ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Типы отображений
Сообщение08.12.2014, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
$f:A \to B$
Если у каждой точки $B$ не более одного прообраза, то это инъекция.
Если у каждой точки $B$ не менее одного прообраза, то это сюръекция.
Если у каждой точки $B$ ровно один прообраз, то это биекция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Типы отображений
Сообщение08.12.2014, 21:49 
Заслуженный участник


27/06/08
3125
Волгоград
Nurzery[Rhymes] в сообщении #942562 писал(а):
Мне всегда трудно было уловить разницу между типами отображений, потому что везде эта тема объясняется очень бегло и поверхностно. Помогите, наконец, увидеть эту разницу и запомнить, чем различаются типа отображений.

2) Отображение называется сюръективным, если $f(A) = B$. О чем это мне должно сказать? Сколько образов может иметь элемент из $A$
Ровно один. И это никак не связано с сюръективностью, а следует из определения отображения.
Цитата:
и сколько прообразов может иметь элемент из $B$? Раз это не оговаривается, то любое количество?
Почти. Не менее одного.
Например, отображение из $\mathbb R$ в $\mathbb R$, заданное по правилу $f(x)=x^2$ - не сюръективно, поскольку у отрицательтных чисел нет прообразов.
Цитата:


3) Отображение называется инъективным, если образы различных элементов различны. Если так, то каждый элемент из $B$ имеет единственный образ в $A$
Здесь у Вас полнейшая путаница. У Вас рассматривается отображение из $A$ в $B$, а не наоборот. Поэтому можно говорить лишь о прообразах элементов из $B$, а не об их образах.
Цитата:
иначе не выполнялось бы условие "образы различных элементов различны". Самое странное отображение. В чем его отличие от сюръекции и биекции?
При сюръекции требуется, чтобы у каждого элемента из $B$ было не менее одного прообраза, а при инъекции наоборот - не более одного.
Ну а биекция, это просто инъекция и сюръекция одновременно.

-- 08 дек 2014, 21:52 --

Diletant111 в сообщении #942577 писал(а):
Может мне и рано отвечать на подобные вопросы
Безусловно рано.
Поэтому следовало ограничиться этим:
Цитата:
Хотелось бы тоже разобраться

 Профиль  
                  
 
 Re: Типы отображений
Сообщение08.12.2014, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Nemiroff в сообщении #942581 писал(а):
$f:A \to B$
Если у каждой точки $B$ не более одного прообраза, то это инъекция.
Если у каждой точки $B$ не менее одного прообраза, то это сюръекция.
Если у каждой точки $B$ ровно один прообраз, то это биекция.

А теперь расскажите столь же кратко и ёмко про мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Типы отображений
Сообщение10.12.2014, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
М-м-м. Тут недавно была тема, в которой они были не кратко и не очень ёмко. 8-) topic89700.html
Причём с моно-, эпи-, би- всё не так однозначно. В случае алгебраических структур групп, это инъективный, сюръективный и биективный гомоморфизмы соответственно.

А ежели хочется страшного, то можно так.
$X \xrightarrow{f} Y$
— если для всех $A$ и для всех $\xymatrix{A\ar@/^5pt/@{->}[r]^(0.4){g}\ar@/_5pt/@{->}[r]_(0.4){h}&X}$ верно, что $f \circ g = f \circ h \Rightarrow g=h$, то $f$ мономорфизм,
— если для всех $A$ и для всех $\xymatrix{Y\ar@/^5pt/@{->}[r]^(0.6){g}\ar@/_5pt/@{->}[r]_(0.6){h}&A}$ верно, что $g \circ f = h \circ f \Rightarrow g=h$, то $f$ эпиморфизм,
биморфизм оставим в качестве упражнения :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Типы отображений
Сообщение10.12.2014, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Nemiroff в сообщении #943352 писал(а):
В случае алгебраических структур, это инъективный, сюръективный и биективный гомоморфизмы соответственно.

А в случае категории Set?

 Профиль  
                  
 
 Re: Типы отображений
Сообщение10.12.2014, 01:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21292
Уфа
Если по праву считать класс всех множеств вырожденной алгебраической структурой, в ней любая функция — гомоморфизм. Скукота! :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Типы отображений
Сообщение10.12.2014, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Аналогично. В смысле, инъекция, сюръекция и биекция.
Вот теперь думаю, как доказывать сюръекцию. :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Типы отображений
Сообщение10.12.2014, 02:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21292
Уфа
Ой, я спутал контекст в предыдущем ответе.

Nemiroff в сообщении #943379 писал(а):
Вот теперь думаю, как доказывать сюръекцию. :|
Для каждой точки $y\colon 1\to Y$ существует точка $x\colon 1\to X$, что $y = f\circ x$. А как к этому прийти, тоже застрял. А ведь где-то видел!

 Профиль  
                  
 
 Re: Типы отображений
Сообщение10.12.2014, 02:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Ну я осознал, наверное. Можно двухэлементное множество взять и показать, что индикатор равен тождественной функции.
А в обратную сторону очевидно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group