2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 17:52 


22/07/12
545
На окружности отмечаются точки, получающиеся из некоторой фиксированной её точки поворотом окружности на всевозможные углы в $n \in Z$ радиан. Укажите все предельные точки построенного множества.

Очевидно, что все точки окружности являются предельными. Это тоже самое, что все точки $R$ являются предельными для $Q$. Но несмотря на очевидность, я не могу строго это обосновать. Могу лишь доказать, что построенное множество $M$ - бесконечно, так как в противном случае число $\pi$ было бы рациональным. Но это не доказывает, что все эти точки не тусуются в окрестности конечного числа точек окружности. В идеале хотелось бы по заданному углу $\varphi \in [0, 2\pi]$ для любой $\varepsilon$-окрестности указать такое подмножество точек из $M$, что все они лежат в данной окрестности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12736
Можно попробовать перейти к синусу натурального числа, если это проще. Или не проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12811
Москва
Достаточно принципа Дирихле, или простейшей теории цепных дробей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 18:52 


22/07/12
545
gris в сообщении #942520 писал(а):
Можно попробовать перейти к синусу натурального числа, если это проще. Или не проще?

Не совсем понимаю, что Вы имели ввиду.
Brukvalub в сообщении #942523 писал(а):
Достаточно принципа Дирихле, или простейшей теории цепных дробей.

Наверное да, можно и так решить, но мне кажется, что можно решить как-нибудь проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 18:59 
Заслуженный участник


12/08/10
941
Напишите определение предельной точки, а то вы похоже не то доказываете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 19:05 


22/07/12
545
Null в сообщении #942545 писал(а):
Напишите определение предельной точки, а то вы похоже не то доказываете.

Предельная точка множества $A$ - это точка в любой окрестности которой существует хотя бы одна точка множества $A$. Почему Вы решили, что я доказываю не то?

-- 08.12.2014, 19:09 --

А, кажется понял Вас, думал об одном, а написал не совсем то. Достаточно доказать, что любая окрестность точки $x \in [0, 1)$ содержит хотя бы одну точку множества $B = \{n - 2\pi k : n, k \in Z\} $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 20:44 


22/07/12
545
Хммм, никак не получается. С виду вроде очевидное утверждение, а оказывается нет. Может есть какая-то теорема, что любая окрестность точки $x \in [0, 1)$ содержит хотя бы одну точку множества $B = \{n - \alpha k \mid n, k \in Z\}$ , где $\alpha \in I$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12736
main.c в сообщении #942543 писал(а):
Не совсем понимаю, что Вы имели ввиду.

Я просто помню свойство периодической непрерывной функции с иррациональным периодом. Её значения в целых точках всюду плотны в области значений. Ну и синус туда же. А где синус, там и угол. Хотя и угол сам по себе тоже функция самого себя. Не помню, как доказывается :-( Может быть, в общем виде и проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
Brukvalub в сообщении #942523 писал(а):
или простейшей теории цепных дробей.

main.c, вы знаете, что такое "наилучшие приближения"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 21:35 


22/07/12
545
provincialka в сообщении #942658 писал(а):
Brukvalub в сообщении #942523 писал(а):
или простейшей теории цепных дробей.

main.c, вы знаете, что такое "наилучшие приближения"?

Нет - не знаю. Поэтому я и хочу попробовать решить данную задачу без привлечения дополнительных, незнакомых теорий. Не потому, что не хочу узнать что-то новое, а потому, что это задача из Зорича, после параграфа "Предел последовательности". Насколько я понимаю, задачи, которые идут после теории опираются на данный и предыдущие параграфы. Но видимо без цепных дробей тут не обойтись, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
Не могу сказать. Я знаю только это решение: оно очень естественное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1604
Москва
Не надо никаких цепных дробей. Теорема Дирихле о рациональном приближении, следует из принципа ящиков. Ну и чуть-чуть подумать, как это сюда применить. Кстати, на форуме эта задача и ее решение много раз обсуждались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
ex-math, точно, я это и имела в виду. Цепные дроби используются только для доказательства факта, но можно обойтись и без них.
А вот можно ли вообще обойтись без наилучших (ну, или "достаточно хороших") приближений - это я не знаю. Собственно, само доказываемое утверждение по сути и сводится к их существованию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1604
Москва

(Оффтоп)

provincialka
Просто я эти цепные дроби почему-то не люблю. И как-то всегда удавалось обходиться без них. Например, принято считать, что они тесно связаны с уравнением Пелля, но соответствующая теория прекрасно строится и без цепных дробей. Плучается и проще, и изящнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань

(Оффтоп)

А мне они понравились. Я этим летом о них детишкам рассказывала. Но, конечно, всего лишь для вывода одного соотношения углубляться в эту теорию - это уж излишество.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group