2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4063
У меня рабоче-крестьянское рассуждение вполне проходит. Совпасть точки не могут. Следовательно, их будет бесконечное число. Значит, расстояние между некоторыми двумя станет рано или поздно меньше $\varepsilon$. Пусть первую точку мы получили через $k$ поворотов, а вторую -- через $k+n$. Значит, через $k+2n$ поворотов мы получим следующую точку на расстоянии $\varepsilon$ от второй и так и будем заполнять, пока не обойдём весь круг.

Или все говорят о том же, только на другом языке? :)

-- 09.12.2014, 00:23 --

Ну и потом, понятно, переходим к следующему $\varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1703
Москва
main.c
Ну вот попробуйте доказать, что при иррациональном $\alpha$ можно подобрать такое целое $n$, что дробная часть $\alpha n$ будет меньше произвольного положительного $\varepsilon$. Подсказка: поделите $[0,1)$ на мелкие кусочки и смотрите, куда попадают эти дробные части при изменении $n$.

-- 08.12.2014, 23:25 --

grizzly
Ну да, об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4063
ex-math в сообщении #942735 писал(а):
grizzly
Ну да, об этом.

Мы, похоже, действительно говорим на разных языках. Я просто пытаюсь объяснить, что это полное решение -- больше ничего не нужно :)
Ещё раз:
Задали произвольное $\varepsilon$ из определения предельной точки и пошли с шагом 1 радиан. Рано или поздно нашлись две точки с расстоянием, меньшим $\varepsilon$. Зафиксировали $k$ и $n$ для этих точек. Теперь, двигаясь с шагом $n$ заполняем всю окружность с заданной плотностью $\varepsilon$. Переходим, если этого кому-то мало к $\varepsilon /2$ и т.д.

-- 09.12.2014, 00:39 --

При этом мы задействуем далеко не всё $\mathbb Z$ радиан -- останется ещё огромный запас целых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 23:41 


22/07/12
545
grizzly в сообщении #942731 писал(а):
Следовательно, их будет бесконечное число. Значит, расстояние между некоторыми двумя станет рано или поздно меньше $\varepsilon$.

Вот если бы всё было так просто, я бы здесь не спрашивал. Тут Вы ошибаетесь, так как из бесконечности не следует, что расстояние между некоторыми двумя точками станет рано или поздно меньше $\varepsilon$.
ex-math в сообщении #942735 писал(а):
main.c
Ну вот попробуйте доказать, что при иррациональном $\alpha$ можно подобрать такое целое $n$, что дробная часть $\alpha n$ будет меньше произвольного положительного $\varepsilon$. Подсказка: поделите $[0,1)$ на мелкие кусочки и смотрите, куда попадают эти дробные части при изменении $n$.

Ну вот это я сейчас и пытаюсь сделать, уже пол тетради изрисовал :lol: .

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 23:43 
Заслуженный участник


14/03/10
867
grizzly в сообщении #942731 писал(а):
Или все говорят о том же, только на другом языке? :)
Нет, не об этом. В основном о цепных дробях и принципах Дирихле. Сейчас о приближениях иррациональных чисел рациональными, похоже, начнут. Так обычно и бывало в тех случаях, когда на dxdy обсуждалась эта задача. :P

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4063
main.c в сообщении #942746 писал(а):
Вот если бы всё было так просто, я бы здесь не спрашивал. Тут Вы ошибаетесь, так как из бесконечности не следует, что расстояние между некоторыми двумя точками станет рано или поздно меньше $\varepsilon$.

Вот уж нет. Здесь я не ошибаюсь. Я утверждаю только, что если на окружности конечного радиуса (у нас ведь конечный радиус?) расположено бесконечное число точек, то найдутся две точки, расстояние между которыми меньше любого наперёд заданного. И ничего другого в доказательстве не использую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение08.12.2014, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1703
Москва
grizzly все правильно говорит. По сути он и доказывает теорему Дирихле. Разве что проще будет сказать не про "бесконечное количество точек", а про количество $[1/\varepsilon]+1$ (это если на $[0,1)$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 00:01 


22/07/12
545
grizzly в сообщении #942754 писал(а):
Вот уж нет. Здесь я не ошибаюсь. Я утверждаю только, что если на окружности конечного радиуса (у нас ведь конечный радиус?) расположено бесконечное число точек, то найдутся две точки, расстояние между которыми меньше любого наперёд заданного. И ничего другого в доказательстве не использую.

Да, согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4063
ex-math
Верное замечание, спасибо. Я даже не сообразил, насколько нелепо начинать конструктивного типа доказательство после размещения бесконечного количества точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 00:08 
Заслуженный участник


11/05/08
31095
grizzly в сообщении #942762 писал(а):
не сообразил, насколько нелепо начинать конструктивного типа доказательство после размещения бесконечного количества точек.

А оно у Вас и заведомо неконструктивно, и заведомо в этом право.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4063
main.c в сообщении #942760 писал(а):
Ок, тогда ответьте пожалуйста на 2 вопроса.
1. Пусть $M$ - множество точек 2 дуг окружности, пусть $[0, \pi/2]$ и $[\pi, 3\pi/2]$. Бесконечно ли данное множество?
2. Если да, то укажите в нём 2 точки с расстоянием $\pi/4$.

1. Множество точек бесконечно.
2. На этот вопрос я не могу ответить. Я даже не интересовался предполагаемой метрикой, считая, что она, как минимум, не дискретна.

Согласен, что я действительно использовал неявно многие вещи в доказательстве, считая, что они подразумеваются в условии: связность и континуальность множества, сколько-то естественную метрику и т.д. и т.п.

Идеи вопросов я не понял, но на всякий случай обращаю внимание, что мне в рассуждениях не нужны точные значения расстояний -- достаточно, чтобы не больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1703
Москва
grizzly
Кстати, можно и с бесконечным, если сослаться на Больцано и Вейерштрасса. В окрестности предельной точки и взять искомые две близкие точки. Все равно ни так, ни так не конструктивно.
main.c
Надо как-то получить две сколь угодно мало отличающиеся $\{\alpha n_1\}$ и $\{\alpha n_2\}$. Тогда дробные части кратных $\alpha(n_1-n_2)$ плотно заполнят $[0,1)$. Идея Дирихле состоит в том, чтобы тупо взять больше точек, чем кусков, на которые разбит отрезок. Попавшие на один кусок и будут близкими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 00:38 


22/07/12
545
grizzly в сообщении #942731 писал(а):
У меня рабоче-крестьянское рассуждение вполне проходит. Совпасть точки не могут. Следовательно, их будет бесконечное число. Значит, расстояние между некоторыми двумя станет рано или поздно меньше $\varepsilon$. Пусть первую точку мы получили через $k$ поворотов, а вторую -- через $k+n$.

Так, хорошо, теперь я с этим я согласен. Нашли мы 2 такие точки.
grizzly в сообщении #942731 писал(а):
Значит, через $k+2n$ поворотов мы получим следующую точку на расстоянии $\varepsilon$ от второй и так и будем заполнять, пока не обойдём весь круг.

Вот это Вы откуда взяли? Почему ещё через $n$ поворотов мы получим следующую точку на расстоянии $\varepsilon$ от второй?

-- 09.12.2014, 00:46 --

Принцип Дирихле лишь говорит о том, что через $[1/\varepsilon]+1$ поворотов найдутся две точки, расстояние между которыми меньше $\varepsilon$. Но из этого не следует, что если мы зафиксируем произвольную точку именно до неё расстояние от какой-то точки станет меньше $\varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4063
main.c в сообщении #942779 писал(а):
Вот это Вы откуда взяли? Почему ещё через $n$ поворотов мы получим следующую точку на расстоянии $\varepsilon$ от второй?

Это неточность выражения, каюсь -- имелось в виду то же расстояние, что и между первыми двумя точками -- $< \varepsilon$. (Доказательство я выдумывал со скоростью 150 зн/мин, и это не единственная неаккуратность.)

А так просто -- поверните, например, всю картинку до совмещения второй точки с первой и из соображений симметрии получите необходимое через следующие $n$ циклов. А вся остальная структура множества не пострадает, естественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 00:59 
Заслуженный участник


14/03/10
867
:twisted: иногда бывает трудно понять ход обсуждения, неужели иррациональность $\pi$ проще, чем "бесконечное подмножество отрезка содержит две сколь угодно близкие точки" :?:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group