2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение08.12.2014, 12:33 


22/11/11
380
Найти все значения $b$, такие, что система имеет хотя бы одно решение:

$\left\{\begin{matrix}
2x^2-2xy+10y^2=b^4-6b^3+9b^2-19+\sqrt{85}\\ 
x^2+2xy-3y^2=4
\end{matrix}\right.$

Думаю так: Обозначим $a=b^4-6b^3+9b^2-19+\sqrt{85}$

$\left\{\begin{matrix}
2x^2-2xy+10y^2=a\\ 
x^2+2xy-3y^2=4
\end{matrix}\right.$

Из второго уравнения: $2xy=4+3y^2-x^2$ подставляем в первое:

$\left\{\begin{matrix}
2x^2-(4+3y^2-x^2)+10y^2=a\\ 
x^2+2xy-3y^2=4
\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}
3x^2+7y^2=a+4\\ 
x^2+2xy-3y^2=4
\end{matrix}\right.$

Первое уравнение -- эллипс при $a>-4$, а второе -- пока что не знаю. Насчет второго только была идея разложить на множители:

$(x-3y)(x+5y)=4$. Но это вряд ли поможет делу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение08.12.2014, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Это гипербола, но какая разница. Да хоть шмябола. Ищите пересечения. Вы их не найдёте, потому что там это самое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение08.12.2014, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12653
А почему пересечения не найти?
Первая фигура — эллипс, который можно раздувать из начала координат (у правой части есть корни, вроде бы). Гипербола стоит на месте в удалении от начала координат. При больших по модулю $b$ будут пересечения. Надо смотреть серединку этой правой части. Ну и находить первое касание. :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение08.12.2014, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Не найти потому, что там не сводится к квадратному уравнению. А не потому что их нет; why, они есть.
Слово "касание" я хотел продать попозже и подороже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение08.12.2014, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12653
Ой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение08.12.2014, 14:24 


22/11/11
380
ИСН в сообщении #942384 писал(а):
Это гипербола, но какая разница. Да хоть шмябола. Ищите пересечения. Вы их не найдёте, потому что там это самое.


А как лучше хдесь искать пересечения -- аналитически или графически?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение08.12.2014, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Что толку, если Вы их найдёте графически?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение08.12.2014, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12653
Графически можно представить себе, что происходит, и подумать о методе решения. В общем, тут три графика. Мне кажется, что такую усложнённую правую часть первого уравнения дали не просто так, а чтобы появились решения в её серединке. Хотя может быть и нет. Если бы я составлял такую задачу, то не удержался бы :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение08.12.2014, 15:32 


22/11/11
380
А как тут аналитически решить, если можно выразить $y$ через $x$ из второго уравнения, решая квадратное уравнение относительно $y$, там ведь немного криво потом будет всё это безобразие подставлять в первое уравнение!

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение08.12.2014, 15:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Я же сразу сказал:
ИСН в сообщении #942384 писал(а):
Вы их не найдёте, потому что там это самое.


-- менее минуты назад --

Вот это оно и есть :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение08.12.2014, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12758
Москва
Слева в системе однородные многочлены. Поэтому умножением уравнений на константы и сложением результатов легко получить однородное уравнение. Вот с этого и начните. Затем нужно предположить, что полученное однородное уравнение имеет корень и подстановкой его в одно из исходных уравнений получить ограничения на этот корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение09.12.2014, 15:33 


22/11/11
380
$\left\{\begin{matrix}
2x^2-2xy+10y^2=a\\ 
x^2+2xy-3y^2=4
\end{matrix}\right.$

При $a\ne 0$

$\left\{\begin{matrix}
8x^2-8xy+40y^2=4a\\ 
ax^2+2axy-3ay^2=4a
\end{matrix}\right.$

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

$(a-8)x^2+2(a+4)xy-(3a+40)y^2=0$


Если $y=0$, получим, что $a=8$ и $x=\pm 2$.

При $a=8$ получаем, что $24xy-68y^2=0$ или $4y(6x-17y)=0$, или $y=0$ или же $6x=17y$.

При $a\ne 8$ и $y\ne 0$ делаем замену $t=\frac{x}{y}$

$(a-8)t^2+2(a+4)t-3a-40=0$

$\dfrac{D}{4}=(a+4)^2+2(3a+40)(a-8)=a^2+8a+16+(6a+80)(a-8)=$

$=a^2+8a+16+6a^2+80a-48a-640=7a^2+40a-624$

Жуткий дискриминант. который обращается в ноль при неприятных значениях $a$ (там возникает $\sqrt{298}$)

Верно ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение09.12.2014, 16:47 
Заслуженный участник


04/03/09
642
В подсчете дискриминанта ошибка. Двойка лишняя.

-- Вт дек 09, 2014 17:49:30 --

А если исправите, вылезет где-то уже виденное $\sqrt{85}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение09.12.2014, 21:34 


22/11/11
380
Спасибо!

$\dfrac{D}{4}=(a+4)^2+(3a+40)(a-8)=a^2+8a+16+(3a+40)(a-8)=$

$=a^2+8a+16+3a^2+40a-24a-320=4a^2+24a-304=$

$=(a+3+\sqrt{85})(a-\sqrt{85}+3)$

При $a\in(-\infty; -3-\sqrt{85})\cup(3-\sqrt{85};+\infty)$ будет два корня.

А как дальше? Что можно придумать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение09.12.2014, 22:01 
Заслуженный участник


04/03/09
642
Andrei94 в сообщении #943168 писал(а):
При $a\in(-\infty; -3-\sqrt{85})\cup(3-\sqrt{85};+\infty)$ будет два корня.

Знаком ошиблись немного.
А дальше переходите от $t$ к исходным переменным и подставляете найденное значение $t$ в одно из исходных уравнений, в любое на выбор. Ищете, при каких значениях $a$ это получившееся уравнение будет иметь решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group