2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение13.12.2014, 12:49 


22/11/11
380
То есть у нас $t_{1,2}=\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}$

Подставляя в первое уравнение (учитывая $t=\frac{x}{y}$), имеем:

$$y^2\left(2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)^2-2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)+10\right)=a$$

Прямо вот так подставлять?

Используя второе уравнение:

$x^2+2xy-3y^2=4$

Получаем $y^2(t^2+2t-3)=4$

Значит $y^2=\dfrac{4}{t^2+2t-3}=\dfrac{4}{\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)^2+2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)-3}$

Тогда подставляя в первое уравнение, получаем:

$$\dfrac{4}{\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)^2+2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)-3}\cdot $$

$$\cdot \left(2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)^2-2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)+10\right)=a$$

Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение13.12.2014, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12481
Москва
Нет, вы стали переусложнять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение13.12.2014, 13:01 


22/11/11
380
$\dfrac{D}{4}=(a+4)^2+(3a+40)(a-8)=a^2+8a+16+(3a+40)(a-8)=$

$=a^2+8a+16+3a^2+40a-24a-320=4a^2+24a-304=$

$=4(a+3+\sqrt{85})(a-\sqrt{85}+3)$

При $a\in(-\infty; -3-\sqrt{85})\cup(\sqrt{85}-3;+\infty)$ будет два корня.

Поправил, чтобы было верно.

-- 13.12.2014, 13:02 --

Brukvalub в сообщении #945440 писал(а):
Нет, вы стали переусложнять.


Ну а пока не очевидно -- в какую сторону думать, чтобы упростить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение13.12.2014, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12481
Москва
Нужно, не выражая явно корня однородного уравнения, просто предположить его существование, обозначит этот корень одной буквой, затем выразить с помощью обозначенного корня одно исходное неизвестное через другое, подставить это выражение в удобное исходное уравнение, смоделировать его решение, откуда получатся ограничения на корень однородного уравнения (если такие ограничения есть).

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение13.12.2014, 13:19 


22/11/11
380
Brukvalub в сообщении #945447 писал(а):
Нужно, не выражая явно корня однородного уравнения, просто предположить его существование, обозначит этот корень одной буквой, затем выразить с помощью обозначенного корня одно исходное неизвестное через другое, подставить это выражение в удобное исходное уравнение, смоделировать его решение, откуда получатся ограничения на корень однородного уравнения (если такие ограничения есть).

То есть вот так?

$x^2+2xy-3y^2=4$

Получаем $y^2(t^2+2t-3)=4$

Получаем ограничение на $t^2+2t-3$, а именно $t^2+2t-3>0$, то есть $t\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$

Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение13.12.2014, 13:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12481
Москва
Да, так, но выгоднее подставлять во 2-е уравнение. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение13.12.2014, 13:32 


22/11/11
380
Brukvalub в сообщении #945454 писал(а):
Да, так, но выгоднее подставлять во 2-е уравнение. :D

Пока что не прочувствовал выгоду)

$2x^2-2xy+10y^2=y^2(2t^2-2t+10)=a$

Пока что не видно, какие ограничения на $t$, только ввиду того, что $2t^2-2t+10>0$ при любых действительных $t$, получаем, что $a\ge 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение13.12.2014, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12481
Москва
Верно, осталось обеспечить наличие корня у однородного уравнения, других ограничений НЕТ!

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение13.12.2014, 13:47 


22/11/11
380
Brukvalub в сообщении #945465 писал(а):
Верно, осталось обеспечить наличие корня у однородного уравнения, других ограничений НЕТ!

А почему нет, что-то не очень понимаю, ведь из другого уравнения какие-то ограничения вылезают?
А как дальше решать неравенства -- понятно уже, получилось, что $b\in (-\infty;-1]\cup [4;+\infty)$, но почему уже достаточно ограничений, пока что не ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение15.12.2014, 12:40 


22/11/11
380
Меня смущают эти ограничения

$x^2+2xy-3y^2=4$

Получаем $y^2(t^2+2t-3)=4$

Получаем ограничение на $t^2+2t-3$, а именно $t^2+2t-3>0$, то есть $t\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение15.12.2014, 16:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12481
Москва
Andrei94 в сообщении #946739 писал(а):
Меня смущают эти ограничения

$x^2+2xy-3y^2=4$

Получаем $y^2(t^2+2t-3)=4$

Получаем ограничение на $t^2+2t-3$, а именно $t^2+2t-3>0$, то есть $t\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$
Исходная система равносильна каждой из 2-х систем, полученных присоединением к однородному уравнению-следствию одного из исходных уравнений.
Если мы присоединяем 2-е из исходных уравнений, то новых ограничений на параметр не получаем, а если присоединить первое, то появляются дополнительные ограничения. Это означает, что, если присоединить именно первое уравнение, то, хорошенько помучившись, мы придем к тому же ответу, который мы легко и непринужденно получаем, если присоединить второе уравнение.
Проверьте это!

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще хитрая задача на параметр.
Сообщение17.12.2014, 23:57 


22/11/11
380
Brukvalub в сообщении #946861 писал(а):
Andrei94 в сообщении #946739 писал(а):
Меня смущают эти ограничения

$x^2+2xy-3y^2=4$

Получаем $y^2(t^2+2t-3)=4$

Получаем ограничение на $t^2+2t-3$, а именно $t^2+2t-3>0$, то есть $t\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$
Исходная система равносильна каждой из 2-х систем, полученных присоединением к однородному уравнению-следствию одного из исходных уравнений.
Если мы присоединяем 2-е из исходных уравнений, то новых ограничений на параметр не получаем, а если присоединить первое, то появляются дополнительные ограничения. Это означает, что, если присоединить именно первое уравнение, то, хорошенько помучившись, мы придем к тому же ответу, который мы легко и непринужденно получаем, если присоединить второе уравнение.
Проверьте это!

Спасибо, понятно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group