2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Параметры
Сообщение10.12.2014, 13:16 


22/11/11
380
provincialka в сообщении #943171 писал(а):
На отрезке, да не а том. Ведь теперь у вас другая переменная.

Да, действительно, $t\in[-0,5;0,5]$

$y(-0,5)=|1+c-d|$

$y(0,5)=|1+3c+3d|$

А как тут дальше быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение10.12.2014, 13:59 
Заслуженный участник


12/09/10
1435
Для упрощения сделаем замену
$z=2t$
$a=c+2d$
$b=2c+d$
И задача превратится в следующую:
Найти такой многочлен
$z^2+az+b$, который наименее отклоняется от нуля на отрезке $[-1;1]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 11:19 


22/11/11
380
Cash в сообщении #943625 писал(а):
Для упрощения сделаем замену
$z=2t$
$a=c+2d$
$b=2c+d$
И задача превратится в следующую:
Найти такой многочлен
$z^2+az+b$, который наименее отклоняется от нуля на отрезке $[-1;1]$


А что значит наименее отклоняется от нуля?

Я лишь пока что понимаю, что исходную задачу можно переформулировать так:

Найдите все числа $a$ и $b$, для которых наибольшее значение функции

$y=\left|z^2+az+b|$

на отрезке $[-1;1]$ является наименьшим.

При этом не до конца понимаю две штуки.

1) Наибольшее значение функции -- на отрезке $[-1;1]$ является наименьшим или же наибольшее значение функции на отрезке $[-1;1]$ -- является наименьшим.

2) В обеих формулировках (где поставлено тире) не понимаю -- как такое может быть. Не понимаю вот по какой причине:
а) Пусть такая формулировка:
Наибольшее значение функции -- на отрезке $[-1;1]$ является наименьшим.
Пусть наибольшее значение на отрезке будет $y_0$, тогда существует $y_1<y_0$, причем этот $y_1$ из отрезка $[-1;1]$. Значит $y_0$ не наименьшее значение, так как нашлась точка $y_1<y_0$.
b) Аналогичная проблема:
Наибольшее значение функции на отрезке $[-1;1]$ -- является наименьшим.
Пусть наименьшее значение на отрезке будет $y_0$, тогда существует $y_1>y_0$, причем этот $y_1$ из отрезка $[-1;1]$. Значит $y_0$ не наибольшее значение, так как нашлась точка $y_1>y_0$.

Я что-то не так понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 11:38 


26/08/11
1569
Наименьший максимум на oтрезке [-1;1]
Например, функция $f_1(z)=|z^2+z+1|$ имеет максимум на $[-1;1]$. И функция $f_2(z)=|z^2-3x+5|$ тоже имеет максимум на этом отрезке. Один из них меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12405
Москва
Зафиксируем значения параметров (коэффициентов) и вычислим максимум функции на отрезке. Теперь будем менять параметры, тогда будет меняться и вычисляемый максимум функции, то есть этот максимум является функцией от параметров. Вот и требуется найти такие значения параметров, при которых этот максимум будет минимальным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 12:03 


22/11/11
380
А, спасибо, теперь понятно.

Тогда получается, что:

$y(1)=|a+b+1|$

$y(-1)=|b-a+1|$

$x_0=-\dfrac{a}{2}$

$y(x_0)=\left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$

Тогда нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|, \left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$.

Но как это сделать, верно ли я понимаю суть тут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12405
Москва
Вершина параболы не всегда лежит на отрезке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 12:11 


22/11/11
380
Brukvalub в сообщении #945403 писал(а):
Вершина параболы не всегда лежит на отрезке.


Действительно, если $a\in [-2;2]$, то тогда нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|, \left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$.

Если $a\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$, то нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|$

Но а дальше в какую сторону думать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12405
Москва
Andrei94 в сообщении #945406 писал(а):
...нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|$
Но а дальше в какую сторону думать?
Каким всегда будет наибольший из модуля суммы двух чисел и модуля разности этих же чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 12:33 


22/11/11
380
Brukvalub в сообщении #945413 писал(а):
Andrei94 в сообщении #945406 писал(а):
...нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|$
Но а дальше в какую сторону думать?
Каким всегда будет наибольший из модуля суммы двух чисел и модуля разности этих же чисел?

Пусть $e=b+1$

$|a+e|, |e-a|$

Если $a>0,e>0$, то $|a+e|$ наибольший

Если $a>0,e<0$, то $|a-e|$ наибольший

Если $a<0,e>0$, то $|a-e|$ наибольший

Если $a<0,e<0$, то $|a+e|$ наибольший

Если хотя бы одно из чисел $a,b$ равно нулю, то модули совпадают

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12405
Москва
Подсказка: модуль суммы двух чисел одинакового знака равен сумме их модулей, если рассмотреть сумму и разность двух чисел, то один раз знаки слагаемых совпадут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 12:53 


22/11/11
380
Brukvalub в сообщении #945427 писал(а):
Подсказка: модуль суммы двух чисел одинакового знака равен сумме их модулей, если рассмотреть сумму и разность двух чисел, то один раз знаки слагаемых совпадут.

Пока что не понимаю фразу "если рассмотреть сумму и разность двух чисел, то один раз знаки слагаемых совпадут"

Один раз совпадут -- это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12405
Москва
Это так: у одной из пар чисел $a , b$ и $a , -b$ будут одинаковые знаки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 12:59 


22/11/11
380
Brukvalub в сообщении #945437 писал(а):
Это так: у одной из пар чисел $a , b$ и $a , -b$ будут одинаковые знаки.


То есть наибольшее из чисел будет равно $|a|+|b|$, верно ли я понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение13.12.2014, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12405
Москва
Да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group