2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:44 


20/10/12
225
в зависимости от параметра $\alpha$

$\sum^{\infty}_{n=0} {\frac {(-1)^n } {n^\alpha + (-1)^{n-1}}}$

Посоветуйте как подступиться к решению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6014
Сравните с $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^\alpha}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13120
с Территории
Для начала, сесть и отметить на числовой прямой те области, где Вам всё понятно без заумных методов. Наверное, $\alpha=100$ или $\alpha=-100$ принадлежат к таковым областям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:54 


20/10/12
225
я бы сказал, при $\alpha < 0$ расходится (нарушение необх. условия)
при $\alpha = 0$ тоже расходится? (или можем не рассматривать эту точку)
а при $\alpha \geqslant 2$ сходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
Dan B-Yallay в сообщении #940927 писал(а):
Сравните с $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^\alpha}$
Это для абсолютной сходимости. "Соль" примера именно в условной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:55 


20/10/12
225
а вот с условной-то сложнее, мне только признак Лейбница приходит на ум

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
shukshin в сообщении #940933 писал(а):
а при $\alpha \geqslant 2$ сходится
Это уж очень "сильно". Почему именно 2?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6014
Признак сходимости знакоперененного ряда (он же Лейбница. )

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
Лейбниц здесь не подходит, нет монотонности.

shukshin, а вы бы выписали несколько слагаемых, без знака $\Sigma$. Поглядите на них. Может, что и придет на ум.

Для простоты возьмите $\alpha=1$ и $\alpha=1/2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:05 


20/10/12
225
2 т.к. по модулю оценил

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13120
с Территории
Чем оценили, нельзя ли оптимизировать и прихватить ещё какие-то значения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:13 


20/10/12
225
еще $\alpha > 1$ все, понял.
оценил $\  \leqslant \frac {1} {n^\alpha - 1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
Отлично. А что для меньших или равных 1?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13120
с Территории
Ага, теперь самое интересное...

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:26 


20/10/12
225
ну если $\alpha = 1$, то так выходит
для четных и нечетных?
$\sum_{n = 1}^n {\frac {1} {2n - 1} + \frac {1} {2n}}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group