2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение04.12.2014, 23:57 


14/11/13
244
Требуется заполнить таблицу так, чтобы получилась группа и определить, изоморфна ли полученная группа какой-нибудь из известных групп:
$$\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|lr|c}
* & a & b & c & d & e & f \\
\hline
a&   &  & & d & &\\
\hline
b&   &  & & & &\\
\hline
c&   &  & & & a&\\
\hline
d & d  &  & f & a & &\\
\hline
e&  &  &a & & &\\
\hline
f&   &  & & & d &\\
\end{tabular}$$

Группа должна удовлетворять свойствам ассоциативности, в ней должен существовать нейтральный и обратный элемент.
Ясно, что нейтральным элементом будет $a$, а матрица будет симметричной. Можем заполнить некоторые ячейки таблицы:
$$\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|lr|c}
* & a & b & c & d & e & f \\
\hline
a&  a & b & c & d & e & f \\
\hline
b& b  &  & & & &\\
\hline
c&  c &  & & f & a&\\
\hline
d & d  &  & f & a & &\\
\hline
e& e &  &a & & &d\\
\hline
f&  f &  & & & d &\\
\end{tabular}$$
Подскажите, пожалуйста, как действовать дальше? Вроде бы каждая строка смещает элементы на один влево и должна получиться такая матрица:
$$\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|lr|c}
* & a & b & c & d & e & f \\
\hline
a&  a & b & c & d & e & f \\
\hline
b& b  & c & d & e & f& a\\
\hline
c&  c & d & e & f & a& b\\
\hline
d & d  & e & f & a & b & c\\
\hline
e& e & f &a & b  & c &d\\
\hline
f&  f & a & b & c & d &e\\
\end{tabular}$$
Это ведь правильно? Но как это обосновать? И как можно определить, какой группе изоморфна данная группа?
Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:05 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Циклическая группа порядка 6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
SlayZar в сообщении #940456 писал(а):
Ясно, что нейтральным элементом будет $a$, а матрица будет симметричной.

Необязательно и то и другое, вообще говоря. В задании сказано заполнить таблицу так, чтобы получилась группа, не сказано найти все возможные «продолжения» таблиц так что, формально, задание вы выполнили предоставив последнюю таблицу.
SlayZar в сообщении #940456 писал(а):
И как можно определить, какой группе изоморфна данная группа?

Начнём с другой стороны. Группа, очевидно, конечная и шестого порядка. Какие конечные группы шестого порядка вы знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21085
Уфа
kp9r4d в сообщении #940460 писал(а):
Необязательно и то
Почему же? Если $ad = d$, то $d = a^{-1}d$, и в результате $a = a^{-1}$, т. е. $a$ таки нейтральный элемент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13160
с Территории
kp9r4d в сообщении #940460 писал(а):
Необязательно и то и другое, вообще говоря.
Побойтесь бога. Второе-то ладно, а первое? Если $a\cdot d=d$, то какие ещё варианты?
arseniiv в сообщении #940464 писал(а):
$a = a^{-1}$, т. е. $a$ таки нейтральный элемент.
:shock: :shock: Я видел группу на сто с лишним элементов, каждый из которых был равен своему обратному. Вы вывели то, но не туда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
Цитата:
Побойтесь бога. Второе-то ладно, а первое? Если $a\cdot d=d$, то какие ещё варианты?

Да, правда, глупость сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21085
Уфа
ИСН в сообщении #940468 писал(а):
Вы вывели то, но не туда.
:mrgreen: Ой.

Ну да, $\mathbb Z_2^{100500}$ всегда с нами…

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4387
И как всегда товарищ спрашивающий уже никого не интересует :) Попробую немного подсказать, надеясь, что не сильно переборщу.

Используйте максимально информацию о нейтральном элементе. Возьмите, для примера, клеточку $dc=f$. Что будет, если обе части равенства "домножить" на $d$ слева? Надеюсь, такого намёка пока хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:16 


14/11/13
244
grizzly в сообщении #940476 писал(а):
И как всегда товарищ спрашивающий уже никого не интересует :) Попробую немного подсказать, надеясь, что не сильно переборщу.

Используйте максимально информацию о нейтральном элементе. Возьмите, для примера, клеточку $dc=f$. Что будет, если обе части равенства "домножить" на $d$ слева? Надеюсь, такого намёка пока хватит.

А. то есть домножим $dc$ на $d$, получим $d(dc)=(dd)c$ ( по св-ву ассоциативности), но $dc=f$, а $dd=a$
И отсюда получаем, что $df =ac=c$
И так, по аналогии, получается можем доказать для всех остальных, да?

kp9r4d в сообщении #940460 писал(а):
SlayZar в сообщении #940456 писал(а):
И как можно определить, какой группе изоморфна данная группа?

Начнём с другой стороны. Группа, очевидно, конечная и шестого порядка. Какие конечные группы шестого порядка вы знаете?

А, точно, это получается сложение по модулю $6$. Только вот, чтобы доказать, что они изоморфны, надо, чтобы между ними существовало биективное отображение. Достаточно ли будет того, что их матрицы идентичны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21085
Уфа
SlayZar в сообщении #940525 писал(а):
Достаточно ли будет того, что их матрицы идентичны?
Да, т. к. таблица и хранит всю информацию о множестве элементов и операции $*$. Правда, в общем случае строки-столбцы придётся переставлять, чтобы получить совпадение, да и в более общем случае такой метод будет неудобным (например, группа из 64 элементов, и надо проверить, не изоморфна ли она $\mathbb Z_4^3$, или группа бесконечная).

P. S. На всякий случай иллюстрация к перестановке: группы с «неодинаковыми» таблицами умножения$$\begin{array}{c|ccc} * & u & v & w \\\hline u & v & w & u \\ v & w & u & v \\ w & u & v & w \end{array}\quad\quad\text{и}\quad\quad\begin{array}{c|ccc} \star & 5 & 1 & 2 \\\hline 5 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 2 & 2 & 5 & 1 \end{array}$$изоморфны всё равно, что видно при перезаписи таблицы в виде, скажем,$$\begin{array}{c|ccc} \star & 1 & 2 & 5 \\\hline 1 & 2 & 5 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 2 & 5 \end{array}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4387
SlayZar в сообщении #940525 писал(а):
И так, по аналогии, получается можем доказать для всех остальных, да?

Не всё так просто. Но если задаться целью, то можно заполнить все клетки в лоб, используя только те, что даны и свойства группы. Хотя и придётся возиться чуть ли не с каждой клеткой персонально.

Это я так понял первоначальный вопрос. Но если видите возможность пользоваться другими (более общими) соображениями, то оно должно быть эффективнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11249
Казань
Не актуально, но есть еще такое соображение: в каждой клетке и в каждом столбце элементы не повторяются и каждый присутствует по одному разу. По этому принципу с некоторого момента заполнение пойдет достаточно быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4387
provincialka в сообщении #940535 писал(а):
По этому принципу с некоторого момента заполнение пойдет достаточно быстро.

Ну вот, осталось от интересной задачи скучное судоку :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:55 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #940535 писал(а):
Не актуально, но есть еще такое соображение: в каждой клетке и в каждом столбце элементы не повторяются и каждый присутствует по одному разу. По этому принципу с некоторого момента заполнение пойдет достаточно быстро.


Да, действительно судоку получается) довольно быстро можно заполнить, спасибо за помощь)
И все таки еще вопрос: можно пользоваться тем, что матрица должна симметричной или, вообще говоря, это неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11249
Казань
Вообще говоря, это неверно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group