2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 16:46 


06/11/14
87
Найти интеграл $$\iint\limits_{S} x^2 y dy \wedge dz + xy^2 dz \wedge dx +xyz dx \wedge dy$$, где $S$ - нижняя сторона части сферы $x^2 +y^2 +z^2 =R^2, x \geq 0,y\geq0,z\geq0$

Идея: выразить $z =f(x,y)$
перейти к интегралу первого рода $$\iint\limits_{S} Fn dS dx$$, где $F=(P,Q,R)$ , $N=(f'_x,f'_y,-1)$. Но как найти $dS$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:03 
Заслуженный участник


11/05/08
30751
Quadrelle в сообщении #940191 писал(а):
Идея: выразить $z =f(x,y)$
перейти к интегралу первого рода

Крайне вредная идея. Тупо выражайте, например, для первого интеграла $x$ через $y,z$ из уравнения поверхности и ещё более тупо считайте двойной интеграл.

(Оффтоп)

С галочками я ещё готов примириться; но вот отсутствие скобок -- неприлично в высшей степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:07 


06/11/14
87
а нельзя сделать как-то через параметризацию? и как понять нижняя сторона части сферы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:16 
Заслуженный участник


11/05/08
30751
Quadrelle в сообщении #940198 писал(а):
а нельзя сделать как-то через параметризацию?

Если ищется приключений на разные части тела, то придумать можно что угодно.

Quadrelle в сообщении #940198 писал(а):
и как понять нижняя сторона части сферы?

Как безграмотность составителя задачи. Понять это можно единственным образом -- как косноязычный намёк на то, что нормаль берётся внутренняя. Однако сам интеграл в этих намёках ни разу не нуждается, и нормаль в нём, наоборот, внешняя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:23 


06/11/14
87
Я так понимаю, что от выбора нормали зависит знак в ответе или нет?
а почему все-таки вы сначала сказали, что внутренняя нормаль, не совсем понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
ewert в сообщении #940202 писал(а):
Однако сам интеграл в этих намёках ни разу не нуждается, и нормаль в нём, наоборот, внешняя.
Почему?
Quadrelle в сообщении #940206 писал(а):
а почему все-таки вы сначала сказали, что внутренняя нормаль, не совсем понял?
А где находится нижняя сторона верхней половины сферы? "Внутри" сферы или снаружи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:27 
Заслуженный участник


11/05/08
30751
.
Quadrelle в сообщении #940206 писал(а):
а почему все-таки вы сначала сказали, что внутренняя нормаль,

А потому, что никакого другого смысла слово "нижняя" иметь не может (этот при сильном желании может, поскольку сама поверхность-то сверху). Т.е. оно, говоря формально, вообще не имеет смысла, но никакого другого -- тем более.

-- Чт дек 04, 2014 18:30:28 --

provincialka в сообщении #940207 писал(а):
Почему?

Потому что если внешние формы заменить на просто дэигрекдэзет. Если же хочется попижонить именно внешними формами, то всё равно любые уточнения насчёт направления излишни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:32 


06/11/14
87
Хорошо, тогда нормаль $n=(-f'_x,-f'_y,1)$, но все-таки как искать $dS$. По тому как нам сказали посчитать двумя способами - через сведение к интграла к интегралу первого рода и через введение параметризации, например здесь модно сферические координаты

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань

(вечный спор)

ewert в сообщении #940196 писал(а):
С галочками я ещё готов примириться; но вот отсутствие скобок -- неприлично в высшей степени.
Дело вкуса. Чисто формально скобки не добавляют информации, поэтому их можно и не писать. Так же как и галочки: ведь под интегралом не может стоять другого произведения дифференциалов)


-- 04.12.2014, 17:36 --

ewert в сообщении #940209 писал(а):
Потому что если внешние формы заменить на просто дэигрекдэзет.
И что? форма - одно, а сторона поверхности - другое. Чё-то я вас не понимаю :o
Quadrelle в сообщении #940212 писал(а):
двумя способами - через сведение к интграла к интегралу первого рода и через введение параметризации, например здесь модно сферические координаты
Два плохих способа вместо одного хорошего.
А вот если продифференцировать исходное уравнение поверхности (в смысле взятия дифференциала)? Можно многое узнать и о подынтегральной форме, и о производных (раз уж они вам так нужны)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:42 
Заслуженный участник


11/05/08
30751

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #940213 писал(а):
форма - одно, а сторона поверхности - другое.

Ну там же какие-то формы. Я не вникал, какие в точности. Но твёрдо знаю, что они 1) тут примерно как кобыле пятое колесо и 2) если уж они, то однозначны.

Короче: куда ни кинь -- всюду клин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Quadrelle в сообщении #940212 писал(а):
Хорошо, тогда нормаль $n=(-f'_x,-f'_y,1)$, но все-таки как искать $dS$.
Эта ваша нормаль не единичная. Если уж так писать, надо поделить ее на длину. И как раз длина, умноженная на $dxdy$ и будет равна $dS$. Так что длина сократится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:47 


06/11/14
87
Получил ответ $\frac {R^5} 3 $ ка поверить, что это правда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
ewert в сообщении #940216 писал(а):
Ну там же какие-то формы. Я не вникал, какие в точности. Но твёрдо знаю, что они 1) тут примерно как кобыле пятое колесо и 2) если уж они, то однозначны.
Хорошие формы, внешние дифференциальные. И что однозначно? Интегралы $\iint\limits_{(D)}\omega$ и $\iint\limits_{-(D)}\omega$ отличаются знаком. Здесь через $(D)$ обозначена ориентированная поверхность, а через $-(D)$ - та же поверхность, ориентированная в противоположную сторону.

-- 04.12.2014, 17:49 --

Quadrelle в сообщении #940222 писал(а):
Получил ответ $\frac {R^5} 3 $ ка поверить, что это правда?
А вы каким методом считали? Попробуйте другим.

-- 04.12.2014, 17:53 --

(Оффтоп)

У меня такой же ответ. Через внешние формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 17:56 


06/11/14
87
provincialka в сообщении #940218 писал(а):
Quadrelle в сообщении #940212 писал(а):
Хорошо, тогда нормаль $n=(-f'_x,-f'_y,1)$, но все-таки как искать $dS$.
Эта ваша нормаль не единичная. Если уж так писать, надо поделить ее на длину. И как раз длина, умноженная на $dxdy$ и будет равна $dS$. Так что длина сократится.


Тогда получаем интеграл $$\iint\limits_{S} \frac{x^3 y} {\sqrt{R^2 -x^2 -y^2}} + \frac{xy^3}{\sqrt{R^2 -x^2 -y^2}} +xy \sqrt{R^2 -x^2 -y^2}dxdy$$

Пределы $x$ - от $0$ до $R$, $y$ - от $0$ до $\sqrt{R^2 -x^2}$

Получил $\frac{R^5} 3$

-- 04.12.2014, 17:58 --

То есть ли бы в задании было указано, что надо считать во верхней стороне, то ответ бы бы со знаком "-" ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Я делала так. $2xdx+2ydy+2zdz=0$, откуда $ydy=-xdx-zdz$. Подставляя это выражение в первое и последнее слагаемые, получаем, что подынтегральная форма принимает вид $$ \omega =x^2 (-xdx-zdz)dz + xy^2 dz dx +xz dx(-xdx-zdz)=-x^3dxdz+xy^2dzdx-xz^2dxdz=$$
$$=x(x^2+y^2+z^2)dzdx = R^2xdzdx$$
Так как сторона нижняя, она направлена против оси $Oy$, так что интеграл можно переписать в виде $\iint\limits_{(D)}R^2xdxdz$, где $(D)$ - проекция сферы на плоскость $Oxz$, ориентированная в соответствии с направлением $Oy$. Поэтому интеграл можно считать просто двойным по четверти круга.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group