2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 18:21 


06/11/14
87
Считал через сферические координаты и вылез минус..

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11350
Казань
Кстати, если переходить в интегралу первого рода, можно тоже воспользоваться геометрическими представлениями. Ведь нормальк сфере направлена вдоль радиуса, так что $\vec{n}=(x,y,z)/R$

-- 04.12.2014, 18:27 --

Quadrelle в сообщении #940239 писал(а):
Считал через сферические координаты и вылез минус..
Тут нужно быть очень внимательным к ориентации. Например, какому направлению соответствует $d\varphi d\theta$? Наружу или внутрь? Поломаещь голову, пожалуй! А внешние формы ( то самое $\wedge$) позволяют свести эти раздумья в простым алгебраическим преобразованиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 18:34 


06/11/14
87
Замена
$x =Rcos(\phi)cos(\psi)$
$y =Rsin(\phi)cos(\psi)$
$z =Rsin(\psi)$

$\phi , \psi \in [0,\frac {\pi}2]$
пересчитываем внешние произведения:
будем считать $\phi$ первой, а $\psi$ - второй
тогда $dy \wedge dz = det* d(\phi) \wedge d(\psi) = det* (-d(\phi)*d(\psi))$
вот тут минус взялся

-- 04.12.2014, 18:39 --

$\begin{bmatrix}
y'_\phi & y'_\psi  \\
z'_\phi & z'_\psi
\end{bmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11350
Казань
А что такое $det$? Определитель? Чего?
Не надо его. Получаем $dydz = R(\cos \varphi\cos\psi d \varphi -\sin \varphi\sin\psi d\psi) R\cos\psi d\psi$. Знак внешнего произведения я опускаю.

По правилам косой симметрии при раскрытии скобок второе слагаемое пропадает, так что получаем $R^2\cos \varphi\cos^2\psi d \varphi d\psi$. И никакого минуса.
А площадка $d \varphi d\psi$ соответствует как раз внутренней нормали (проверьте хотя бы в окрестности точки $(1,0,0)$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 18:53 


06/11/14
87
provincialka

Просто мы на лекциях так считали.
$dy \wedge dz = det* d(\phi) \wedge d(\psi) = det* (-d(\phi)*d(\psi))$
где det матрицы

$\begin{bmatrix}
y'_\phi & y'_\psi  \\
z'_\phi & z'_\psi
\end{bmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11350
Казань
Первое равенство понимаю. А второе - нет. Что изменилось? Почему минус? Куда делся знак $\wedge$? И, кстати, не обозначайте умножение звездочкой, лучше \cdot или \times.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 19:05 


06/11/14
87
Во втором равенстве переход от внешнего произведения к обычному. Для этого надо понять какая у нас ориентация. так как вектор $r'_\phi$ - первый , $r'_\psi $- второй, то по правилу буравчика векторное произведение их - есть внешняя нормаль, но нам нужна внутренняя - поэтому минус

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11350
Казань
А, действительно, внешней, я ошиблась.. Будет знак "минус". Потому что $dxdz$ соответствует "отрицательной" стороне, положительная получается, если переменные идут в порядке $(x,y,z,x)$.
Только мне не нравится ваша форма записи. Как-то нехорошо в одном равенстве использовать разные произведения. И что такое "обычное" произведение? Под интегралом всегда стоит внешнее. Вы же не видели интеграла по $dxdx$!
Знак перед интегралом определяется не формой, а областью. Поэтому до того, как вы выписали интеграл полностью, с областью, вы не можете сказать, какой знак выбрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 19:30 


06/11/14
87
Думаю, что проще будет взять$ \psi$ - первой, а $\phi$ - второй. Тогда векторное произведение $r'_\psi$ и $r'_\phi $- есть наша внутренняя нормаль. тем самым мы определили, что будем интегрировать по нижней стороне части сферы.

$dy \wedge dz = det \cdot d\psi \wedge d\phi$ , где определитель вычисляется от матрицы

$\begin{bmatrix}
y'_\psi & y'_\phi  \\
z'_\psi & z'_\phi
\end{bmatrix}$
(номер столбца соотвествует номерам$ \psi$ и $\phi$)

отсюда $dy \wedge dz = R^2cos\phi cos^2\psi d\psi d\phi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11350
Казань
Неряшливо оформлено! форма равна функции :shock: Поправьте. Я вернусь через полчасика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 19:36 


06/11/14
87
Теперь, надеюсь, все корректно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11350
Казань
Корректно, но неверно. Прямое вычисление показывает, что
provincialka в сообщении #940254 писал(а):
Получаем $dydz = ... = R^2\cos \varphi\cos^2\psi d \varphi d\psi$.
И мы не имеем никакого права менять знак.

Тут надо разобраться с самого начала. Интеграл второго рода вычисляется при наличии двух вещей: дифференциальной формы $\omega$ и ориентированной области $(G)$ (ну, или кривой в одномерном случае). Скобки подчеркивают наличие ориентации. При этом каждый интеграл вида $\iint\limits_{(G)}fdxdy$ берется по сути по проекции области $G$ на плоскость $xOy$. Эта проекция, разумеется, будет тоже ориентированной. Обозначим ее $(D)$. Ориентация на ней порождается ориентацией $(G)$. Например, верхняя сторона поверхности переходит в верхнюю (положительную относительно $Oz$) сторону $D$. При таком переходе изменять знак не нужно!

Но вот потом мы от интеграла второго рода переходим к интегралу первого (по плоской области $D$). И если поверхность $D$ была ориентирована отрицательно, придется брать полученный интеграл с противоположным знаком.

Поэтому я и против того, чтобы вносить знак в саму дифференциальную форму. Потому что для одной и той же $\omega$ он может быть и "плюсом" и "минусом", в зависимости от ориентации, выбранной на $G$.

В нашем случае получаем, что интеграл равен $\iint\limits_{(D)}R^2xdzdx = -\iint\limits_{D}R^2xdzdx$.
То есть знак меняется в момент убирания скобок у $D$.

Если вам рассказывали не так - ничего страшного, оформляйте так, как требует преподаватель. Но вы должны понимать, что происходит на самом деле, чтобы не возникало путаницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение04.12.2014, 22:37 


06/11/14
87
Спасибо большое

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group