2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение03.12.2014, 21:23 


15/11/14
111
У меня возникла такая задача. Она возникла при решении одной, более сложной задачи, так что я ее фактически придумал.

Цитата:
n-угольная пирамида вписана в сферу радиусом R. Существует ли для нее максимальный объем? Если да, то найдите его.


Вроде бы интуитивно понятно, что если каким-то образом хитро расположить пирамиду, то ее объем окажется максимальным. Нет идей, как решать? Совершенно не могу понять, как тут объем пирамиды выразить хоть как-нибудь через радиус или что-нибудь, чтоб исследовать ее на экстремумы.
Или этас какой-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение03.12.2014, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1292
Очевидно, что пирамида будет правильной, вершину можно зафиксировать, а высоту окружности, по которой будут располагаться вершины основания нужно варьировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение03.12.2014, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11082
Казань
Надо вписать в сечение $n$-угольник и найти его площадь. А радиус сечения с высотой свяжите с помощью теоремы Пифагора

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение03.12.2014, 22:03 


15/11/14
111
Да ну, так неинтересно. Почему "очевидно", что пирамида правильная? Этот пункт я не могу игнорировать.
Если она вообще правильная, то задачу пытаюсь решить так.
Пусть O - центр сферы, она лежит на высоте пирамиды; пусть на расстоянии $\mathrm{h_0}$ находится плоскость $\mathrm{n}$-угольника, $\mathrm{h}$ - высота пирамиды, $\mathrm{R}$ - данный радиус сферы, $\mathrm{R_0}$ - радиус описанной около $\mathrm{n}$-угольника окружности. Тогда очевидно, что $\mathrm{h_0+R=h}$, по теореме Пифагора $\mathrm{R_0^2=R^2-h_0^2}$, по формуле площади правильного многоугольника $\mathrm{S=\frac{1}{2}nR_0^2$sin$\frac{2\pi}{n}$}. Выворачиваем все это в $\mathrm{V=\frac{1}{3}Sh}$, получим $\mathrm{V=\frac{1}{6}h n(R^2-(h-R)^2)sin\frac{2\pi}{n}}$. Дальше в лес, глубже в лес: производная этой функции относительно $\mathrm{h}$ равна $V'=\frac{1}{3}nh^2sin\frac{2\pi}{n}$. И что теперь мне делать с этим? $h=0$?
Где я тут ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение03.12.2014, 22:14 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
lantza, производную неправильно нашли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение03.12.2014, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13134
с Территории
Я не вникал, только производная у Вас неправильная, или вместе с функцией.
Теперь по существу. Пусть пирамида опирается на произвольный (может, кривой, косой, одноногий) многоугольник, и вершина её торчит не обязательно прямо вверх, а куда хочет. Ах да, и всё это вписано в сферу. Чему равен объём пирамиды? Да те же $V=\frac13Sh$. Как мы можем увеличить S, оставляя основание в той же плоскости и вписанным в ту же сферу? То есть какой n-угольник из вписанных в данный круг имеет максимальную площадь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение03.12.2014, 22:50 


15/11/14
111
Shtorm
Да, действительно, простите.
Производная равна V=$\frac{1}{6}$nhsin$\frac{2\pi}{n}$(4R-3h), откуда $h=\frac{4R}{3}$. Вторая производная меньше нуля, что говорит о максимуме в данной точке. Спасибо.
ИСН
Данный произвольный n-угольник можно разбить на n равнобедренные треугольники с общим центром O. Их суммарная площадь (т. е. площадь n-угольника) равна $S=1/2R^2(sinA_1+sinA_2+sinA_3+...)$, где $A_1+A_2+A_3+...=2\pi$ - углы при вершине в центре окружности. По-моему, не факт, что она будет всегда меньше площади правильного n-угольника.
Или же от горя доказывать, что sinA_1+sinA_2+sinA_3+...<nsin \frac{2\pi}{n}? Или как-то попроще нужно доказывать, что правильный n-угольник имеет наибольшую площадь среди описанных выпуклых n-угольников?
Про высоту вершины - понятно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение03.12.2014, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13134
с Территории
lantza в сообщении #939939 писал(а):
По-моему, не факт

Факт.
А с деталями уж как хотите.
Потому что функция синус выпукла вверх, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение03.12.2014, 23:03 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
lantza в сообщении #939939 писал(а):
Или как-то попроще нужно доказывать, что правильный n-угольник имеет наибольшую площадь среди описанных выпуклых n-угольников?

Да, нужно как-то совсем просто: что если энугольник не правильный, то его площадь заведомо не максимальна. А это очевидно безо всякого счёта (достаточно тупо пошевелить вершинки).

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение04.12.2014, 00:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12776
Интересно, будет ли точка максимума по высоте, скажем, зависеть от $n$? А если пирамида превратится в конус? Видно ли это без дифференцирования по чисто геометрическим соображениям?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение04.12.2014, 08:06 


13/08/14
349
gris в сообщении #940026 писал(а):
Интересно, будет ли точка максимума по высоте, скажем, зависеть от $n$?

Не будет.
gris в сообщении #940026 писал(а):
А если пирамида превратится в конус?

Даже, если превратится в конус
gris в сообщении #940026 писал(а):
Видно ли это без дифференцирования по чисто геометрическим соображениям?

Да видно. Поскольку площадь правильного $n$-угольника составляет определенную часть от площади описанного круга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение04.12.2014, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12776
Спасибо. Получается, что мы можем найти высоту для нужного конуса (что, в общем, не требует дифференцирования :?: хотя я что-то засомневался), а потом просто умножить его объём на Ваш коэффициент?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение04.12.2014, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13134
с Территории
Ещё лучше: мы можем найти высоту для тетраэдра, а тут и дифференцировать не надо, ведь их у него четыре и все одинаковые!

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение04.12.2014, 19:39 


13/08/14
349
gris в сообщении #940147 писал(а):
Получается, что мы можем найти высоту для нужного конуса (что, в общем, не требует дифференцирования :?: хотя я что-то засомневался)

Правильно засомневались. Чтобы найти высоту, дифференцировать придется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная стереометрия. Про вписанную в сферу пирамиду
Сообщение04.12.2014, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1292
Evgenjy в сообщении #940304 писал(а):
Правильно засомневались. Чтобы найти высоту, дифференцировать придется.

ИСН ведь предыдущим постом предложил хороший метод, как можно без. Вписать как-нибудь правильный тетраэдр в сферу, а конус и тетраэдр - почти одно и то же.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group