2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение30.11.2014, 08:38 


20/06/13
21
Рассмотрим вопрос об оценке вероятности причин дефектов в производстве деталей некоторыми станками.

Предполагается, что известны числа $n_j, m_j, j=1,...,k$, где

$k$ – общее количество станков,

$n_j$ - общее количество деталей, обработанных станком $j$,

$m_j$ - количество дефектных деталей, выданных станком $j$.

Предполагается, что $n_j > 0$, $j=1,...,k$.

Введем следующие обозначения:

$n = n_1 + ... + n_k$ - общее количество деталей,

$m = m_1 + ... + m_k$ - общее количество дефектных деталей,

$\frac{m}{n}$ - итоговая доля дефектных деталей,

$\frac{m_j}{n_j}$ - доля дефектных деталей, выданных станком $j$.

Рассмотрим следующие случайные события:

$A$ - наугад выбираемая деталь из обработанных окажется дефектной;

$B_j$ - наугад выбираемая деталь, обрабатывалась станком $j$, $j=1,...,k$.

Все причины дефектов разделены на взаимоисключающие типы - события $C_1, C_2, ..., C_l$, где $l$ – общее количество типов. Таким образом, дефект в детали случается тогда и только тогда, когда происходит одно из событий $C_i, i = 1, ..., l$.

Вычисления вероятностей будем производить в соответствии с классическим определением вероятности.

Каждая деталь обрабатывается только одним станком. Следовательно, события $B_j$, $j=1,...,k$, попарно независимы и их объединение $B_1 \cup ... \cup B_k$ является достоверным событием.

Пусть $c_{i,j}$ – количество дефектов на станке $j$ по причине $C_i, i = 1, ..., l$, то есть в случае события $C_i \cap B_j$. Тогда для количества дефектных деталей $m_j$ на станке $j$ имеет место

$m_j = c_{1,j} + ... + c_{l,j}, \quad \forall j=1,...,k$.

Вероятность $P((C_i \cap B_j) | A)$ того, что случайно выбранная деталь оказалась дефектной по причине возникновения события $C_i$ на станке $j$, равна

(1) $\quad P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{P(C_i \cap B_j) \cdot P(A | (C_i \cap B_j))}{P(C_1 \cap B_j) \cdot P(A | (C_1 \cap B_j)) + ... + P(C_l \cap B_j) \cdot P(A | (C_l \cap B_j))}$

В этом случае имеем

(2) $\quad P(C_i \cap B_j) = P(C_i | B_j)P(B_j) = \frac{c_{i,j}}{n_j} \cdot \frac{n_{j}}{n} = \frac{c_{i,j}}{n}$ - доля дефектных деталей по причине $C_i$ на станке $j$,

(3) $\quad P(A | (C_i \cap B_j)) = 1$ - вероятность того, что деталь окажется дефектной, если она обрабатывалась на станке $j$ и на этом станке произошло событие $C_i$.

Подставим (2), (3) в (1):

$$P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}\cdot 1}{\frac{c_{1,j}}{n}\cdot 1 + ... + \frac{c_{l,j}}{n}\cdot 1} = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}}{\frac{c_{1,j}}{n} + ... + \frac{c_{l,j}}{n}} = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}}{\frac{m_j}{n}} = \frac{c_{i,j}}{m_j}$$

Получаем следующую формулу для вычисления условной вероятности того, что случайно выбранная деталь оказалась дефектной по причине возникновения события $C_i$ на станке $j$:

$$P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{c_{i,j}}{m_j} $$

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение30.11.2014, 09:40 
Аватара пользователя


26/03/13
307
Russia
В чём вопрос?

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение30.11.2014, 12:00 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
rahmatjon
Сформулируйте, пожалуйста, явно, что же требовалось найти в задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение30.11.2014, 19:42 


20/06/13
21
Otta
Формула $$P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{c_{i,j}}{m_j} $$
правильная?
Нужно найти формулу для вычисления условной вероятности того, что случайно выбранная деталь оказалась дефектной по причине возникновения события $C_i$ на станке $j$.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение30.11.2014, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3888
rahmatjon в сообщении #938191 писал(а):
Каждая деталь обрабатывается только одним станком. Следовательно, события $B_j$, $j=1,...,k$, попарно независимы и их объединение $B_1 \cup ... \cup B_k$ является достоверным событием.

Вы ничего не перепутали? Эти события зависимы уже тем, что взаимоисключающие.
rahmatjon в сообщении #938191 писал(а):
Вероятность $P((C_i \cap B_j) | A)$ того, что случайно выбранная деталь оказалась дефектной по причине возникновения события $C_i$ на станке $j$, равна

Это совсем не вероятность того, что "случайно выбранная деталь оказалась дефектной по причине возникновения события $C_i$ на станке $j$". Это будет $\mathsf P(A|C_iB_j)$. А выше - вероятность того, что деталь, оказавшаяся дефектной, изготовлена на станке $j$ и с ней случилось событие $C_i$. И вообще, стоит говорить на языке "если - то", как в обозначении для условной вероятности и написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение01.12.2014, 08:33 


20/06/13
21
--mS--, я переформулировал исходную задачу, которая меня интересует. Думал, так станет и себе и другим проще. Не получилось.
Ниже оригинал.

Рассматривается вопрос об оценке вероятности причин дефектов в телефонных звонках абонентов сотовой связи при функционировании базовых приемопередающих станций (БППС) в определенный конечный промежуток времени.

Предполагается, что известны числа $n_j, m_j, j=1,...,k$, где

$k$ – общее количество БППС в сети оператора,

$n_j$ - общее количество звонков поступивших в $j$-ю станцию,

$m_j$ - количество дефектных звонков среди поступивших в $j$-ю станцию.

Предполагается, что $n_j > 0$, $j=1,...,k$.

Введем следующие обозначения:

$n = n_1 + ... + n_k$ - тотальное количество звонков,

$m = m_1 + ... + m_k$ - тотальное количество дефектных звонков,

$\frac{m}{n}$ - тотальная доля дефектных звонков,

$\frac{m_j}{n_j}$ - доля дефектных звонков при обслуживании $j$-ой станцией.

Рассмотрим следующие случайные события:

$A$ - наугад выбираемый звонок из поступивших окажется дефектным;

$B_j$ - наугад выбираемый звонок из поступивших обслуживался $j$-ой станцией, $j=1,...,k$.

Каждый звонок (входящий или исходящий) в каждый момент времени обслуживается одной станцией. Следовательно, события $B_j$, $j=1,...,k$ образуют полную систему несовместных событий . Правильно?

Все причины дефектов разделены на взаимоисключающие типы - события $C_1, C_2, ..., C_l$, где $l$ – общее количество типов. Таким образом, дефектный звонок случается тогда и только тогда, когда происходит одно из событий $C_i, i = 1, ..., l$. Следовательно, события $C_i$, $i=1,...,l$ образуют полную систему несовместных событий . Правильно?

Пусть $c_{i,j}$ – количество дефектов на $j$-й БППС по причине $C_i, i = 1, ..., l$, то есть в случае события $C_i \cap B_j$. Тогда для количества дефектных звонков $m_j$ на $j$-й БППС имеет место

$m_j = c_{1,j} + ... + c_{l,j}, \quad \forall j=1,...,k$.

Вычисления вероятностей будем производить в соответствии с классическим определением вероятности.

I. Cогласно формуле Байеса, условная вероятность $P(B_j|A)$ - вероятность обслуживания дефектного звонка $j$-ой станцией вычисляется по формуле:
$$\quad P(B_j | A) = \frac{P(B_j) \cdot P(A | B_j)}{P(B_j) \cdot P(A | B_j) + ... + P(B_j) \cdot P(A | B_j)}$$
Правильно?

II. Cогласно формуле Байеса, условная вероятность $P(C_i|A)$ - вероятность того, что случайно выбранный звонок оказался дефектным по причине $C_i$ вычисляется по формуле:
$$\quad P(C_i | A) = \frac{P(C_i) \cdot P(A | C_i)}{P(C_i) \cdot P(A | C_i) + ... + P(C_i) \cdot P(A | C_i)}$$
Правильно?

III. Вероятность $P((C_i \cap B_j) | A)$ того, что случайно выбранный звонок оказался дефектным по причине возникновения события $C_i$ на $j$-й БППС, равна

(1) $\quad P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{P(C_i \cap B_j) \cdot P(A | (C_i \cap B_j))}{P(C_1 \cap B_j) \cdot P(A | (C_1 \cap B_j)) + ... + P(C_l \cap B_j) \cdot P(A | (C_l \cap B_j))}$
Правильно?

В этом случае имеем

(2) $\quad P(C_i \cap B_j) = P(C_i | B_j)P(B_j) = \frac{c_{i,j}}{n_j} \cdot \frac{n_{j}}{n} = \frac{c_{i,j}}{n}$ - доля дефектных звонков по причине $C_i$ на $j$-й БППС,

(3) $\quad P(A | (C_i \cap B_j)) = 1$ - вероятность того, что звонок окажется дефектным, если звонок должен обслуживаться $j$-й БППС и на ней произошло событие $C_i$.

Подставим (2), (3) в (1):

$$P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}\cdot 1}{\frac{c_{1,j}}{n}\cdot 1 + ... + \frac{c_{l,j}}{n}\cdot 1} = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}}{\frac{c_{1,j}}{n} + ... + \frac{c_{l,j}}{n}} = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}}{\frac{m_j}{n}} = \frac{c_{i,j}}{m_j}$$

Получаем следующую формулу для вычисления условной вероятности того, что случайно выбранный звонок оказался дефектным по причине возникновения события $C_i$ на $j$-й БППС:

$$P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{c_{i,j}}{m_j} $$
Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение01.12.2014, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4068
Вам точно нужно столько Байесов? Это модно, но зачастую сложнее наглядных рассуждений.

Отвечу пока только по последнему вопросу: вывод не проходит проверку на правдоподобие (у Вас там вероятность соответствия дефектного звонка конкретной станции не зависит от общего количества и распределения дефектных звонков). Я подозреваю, что ошибка вышла по следующей причине:
rahmatjon в сообщении #938659 писал(а):
Получаем следующую формулу для вычисления условной вероятности того, что случайно выбранный звонок оказался дефектным по причине...

1) Либо Вы хотели сказать "случайно выбранный дефектный звонок оказался дефектным по причине...". В этом случае Вам изначально проще рассматривать пространство событий с одними только дефектными звонками и это в разы упростит решение.
2) Либо Вы сказали то, что хотели, тогда условная вероятность в последней формуле тем более не к месту.
(Только сейчас сообразил, что на эту проблему Вам уже указывали раньше. Ну, может, другими словами станет понятнее.)

А ещё у меня вопрос неспециалиста: а если один звонок дефектный и на выходе и на входе, это разве не добавляет зависимости каких-то событий?

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение01.12.2014, 13:36 


20/06/13
21
grizzly в сообщении #938708 писал(а):
...
1) Либо Вы хотели сказать "случайно выбранный дефектный звонок оказался дефектным по причине...". В этом случае Вам изначально проще рассматривать пространство событий с одними только дефектными звонками и это в разы упростит решение.
2) Либо Вы сказали то, что хотели, тогда условная вероятность в последней формуле тем более не к месту.
(Только сейчас сообразил, что на эту проблему Вам уже указывали раньше. Ну, может, другими словами станет понятнее.)
...


grizzly, как думаете, рассуждения 1)-2) ниже правильные?

1) оценка $\frac{c_{i,j}}{m_j}$ соответствует вероятности того, что дефектный звонок, случившийся на $j$-ой станции случился из-за события $C_i$ на этой станции. Так как $m_j$ - общее количество дефектных звонков на $j$-ой станции, а $c_{i,j}$ - количество дефектных звонков на этой станции по причине $C_i$.

2) вероятность того, что любой звонок будет дефектным по причине события $C_i$ на $j$-ой станции вычисляется по формуле
$$P = \frac{c_{i,j}}{n_j} \cdot \frac{n_j}{n} = \frac{c_{i,j}}{n}$$
здесь $\frac{n_j}{n}$ - вероятность того, что звонок будет обслужен $j$-ой станцией;
$\frac{c_{i,j}}{n_j}$ - вероятность того, что во время этого звонка случится событие (авария) $C_i$.

Теперь по использования формулы Байеса.
Первые два раза - это типа разминки. Чтобы и себе и другим показать, что я пользуюсь этой формулой правильно.

Но третье применение - "боевое". Снимается статистика за некоторый период (прошедший день, месяц или год) и нужно оценить вероятность того, что наугад выбранный звонок был дефектным из-того, что он обслуживался станцией №$j$ и в это время там произошло событие $C_i$.
Но получаемая оценка $\frac{c_{i,j}}{n_j}$ какая-то неправильная. Где я ошибаюсь?

А "проверка на правдоподобие" - это какой-то специальный тест?

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение01.12.2014, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4068
1) Верно.
2) Верно, но промежуточная формула в равенстве не нужна. У Вас все рассматриваемые события независимы. Значит, общее пространство событий -- $n$, а искомых событий $c_{i,j}$. Делим второе на первое и всё правильно.
rahmatjon в сообщении #938728 писал(а):
нужно оценить вероятность того, что наугад выбранный звонок был дефектным из-того, что он обслуживался станцией №$j$ и в это время там произошло событие $C_i$.
Но получаемая оценка $\frac{c_{i,j}}{n_j}$ какая-то неправильная. Где я ошибаюсь?

Дело в том, что Ваше "боевое применение" сформулировано абсолютно точно как п.2) -- с какой вероятностью любой звонок дефектен там-то из-за того-то. И решение / ответ там должны быть такими же -- $\frac{c_{i,j}}{n}$. Здесь вообще нет никаких дополнительных сложностей. Если Вы хотели "боевое применение" сформулировать иначе, то об этом Вас все и спрашивают здесь :)
rahmatjon в сообщении #938728 писал(а):
А "проверка на правдоподобие" - это какой-то специальный тест?

Да :) Ещё называют "здравым" или "критическим мышлением". Нужно просто подвергнуть свои выводы / гипотезы сомнениям, взяв в рассмотрение хоть какие-то крайние случаи (я брал миллион всех дефектных звонков, $m_j = 1$ звонок, $c_{1,j}=1$; получилось подозрительно).

[Удалено]

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение01.12.2014, 14:07 


20/06/13
21
grizzly в сообщении #938708 писал(а):
... а если один звонок дефектный и на выходе и на входе, это разве не добавляет зависимости каких-то событий?

Объясните, пожалуйста, что Вы имеете в виду под "один звонок дефектный и на выходе и на входе"?
Если это означает провал до первого гудка (call failure) или обрыв звонка до отбоя (call drop), то сработают различные счетчики и будем считать, что причины разные. (Специалистов прошу простить)
Если имеете в виду, что у каждого звонка есть вызывающий (caller) и вызываемый (callee) и каждый из них может обслуживаться, вообще говоря, различными станциями, то выразить это математическими формулами для меня сложно (читай, не умею). Пока работаю с определенными допущениями и упущениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение01.12.2014, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4068
Спасибо, любопытство удовлетворено :)

-- 01.12.2014, 15:27 --

Здесь есть ещё один нетривиальный, возможно, вопрос. Мы же строим мат.модель для какой-то задачи. И пока Вы не объяснили суть задачи, для которой эта модель строится, все эти проверки формул были лишними.

Если, например, задача в том, что мы хотим прогнозировать в будущем вероятности возникновения дефектов на разных станциях (для распределения персонала, например, или средств на ремонты), тогда ключевой момент: можем ли мы считать, что наша статистика распределения звонков между станциями имеет сколько-то постоянный характер. То есть, что $n_j/n$ -- вероятность того, что следующий звонок будет на станцию $j$? И тот же вопрос относительно прогнозируемой вероятности дефектов. Если оба ответа "да", то составленная модель пригодна, я думаю. Если нет, то я ничего хорошего не могу сказать о возможности построения какой-нибудь мат.модели для такой ситуации.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение01.12.2014, 14:28 


20/06/13
21
grizzly в сообщении #938736 писал(а):
... я брал миллион всех дефектных звонков, $m_j = 1$ звонок, $c_{1,j}=1$; получилось подозрительно.

Именно по этой причине и я начал эту тему.
Спасибо за ответы.
Прочитаю, сделаю выводы и, возможно, напишу еще. :)

-- 01.12.2014, 16:03 --

grizzly в сообщении #938739 писал(а):
можем ли мы считать, что наша статистика распределения звонков между станциями имеет сколько-то постоянный характер. То есть, что $n_j/n$ -- вероятность того, что следующий звонок будет на станцию $j$?

Если я Вас правильно понял, то вопрос о постоянстве относится не только к $n_j/n$, но и ко всем другим вероятностям (долям, отношениям).
Попробую ответить так. Все зависит от глубины (степени) детализации (granularity). Если брать данные за каждый час и сравнивать, то колебания будут огромными. Например, трудно сравнивать качество за 4 часа утра, когда мало звонков и станции разгружены, и 8 часов вечера, когда много звонков и многие станции перегружены. Но если суммировать данные за 24 часа, то есть брать ежесуточные средние, то многие показатели стабилизируются и вырисовываются средние значения и диапазоны колебаний (стандартные отклонения).
Периодами могут быть недели, месяцы, а год - уже сама генеральная совокупность. :)
Кстати, тот факт, что доли начинают стабилизироваться по мере увеличения диапазона выборки, объясняется законом больших чисел или центральной предельной теоремой?

 Профиль  
                  
 
 Re: правильно ли считаю условную вероятность?
Сообщение01.12.2014, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4068
Спасибо за разъяснения. В таком случае может быть полезно посмотреть отдельно всю статистику разделённую с учётом времени суток или сезонности. Вполне возможно, что распределение вероятностей ошибок по типам будет критично разным при высокой / низкой нагрузке или при холодной / жаркой погоде. В зависимости от целей Вашей задачи может быть эффективнее учитывать летом летние, а зимой -- зимние $c_{i,j}$ (аналогично утренние / вечерние). Но здесь все карты Вам в руки, я уже просто умничаю :)

rahmatjon в сообщении #938742 писал(а):
Кстати, тот факт, что доли начинают стабилизироваться по мере увеличения диапазона выборки, объясняется законом больших чисел или центральной предельной теоремой?

Закон больших чисел, я полагаю.

 Профиль  
                  
 
 Правильно ли считаю вероятности?
Сообщение09.12.2014, 14:17 


20/06/13
21
Здравствуйте!
Правильно ли я подсчитал вероятности I, II, III, IV и V?
Подробности ниже.

Рассматривается вопрос об оценке вероятности причин дефектов в телефонных звонках абонентов сотовой связи при функционировании базовых приемопередающих станций (БППС) в определенный конечный промежуток времени.

Предполагается, что известны числа $n_j, m_j, j=1,...,k$, где

$k$ – общее количество БППС в сети оператора,

$n_j$ - общее количество звонков поступивших в $j$-ю станцию,

$m_j$ - количество дефектных звонков среди поступивших в $j$-ю станцию.

Предполагается, что $n_j > 0$, $j=1,...,k$.

Введем следующие обозначения:

$n = n_1 + ... + n_k$ - тотальное количество звонков,

$m = m_1 + ... + m_k$ - тотальное количество дефектных звонков,

$\frac{m}{n}$ - тотальная доля дефектных звонков,

$\frac{m_j}{n_j}$ - доля дефектных звонков при обслуживании $j$-ой станцией.

Рассмотрим следующие случайные события:

$A$ - наугад выбираемый звонок из поступивших окажется дефектным;

$B_j$ - наугад выбираемый звонок из поступивших обслуживался $j$-ой станцией, $j=1,...,k$.

Каждый звонок (входящий или исходящий) в каждый момент времени обслуживается одной станцией. Следовательно, события $B_j$, $j=1,...,k$ образуют полную систему несовместных событий.

Все причины дефектов разделены на взаимоисключающие типы - события $C_1, C_2, ..., C_l$, где $l$ – общее количество типов. Таким образом, дефектный звонок случается тогда и только тогда, когда происходит одно из событий $C_i, i = 1, ..., l$. Следовательно, события $C_i$, $i=1,...,l$ образуют полную систему несовместных событий.

Пусть $c_{i,j}$ – количество дефектов на $j$-й БППС по причине $C_i, i = 1, ..., l$, то есть в случае события $C_i \cap B_j$. Тогда для количества дефектных звонков $m_j$ на $j$-й БППС имеет место

$m_j = c_{1,j} + ... + c_{l,j}, \quad \forall j=1,...,k$.

Отсюда тотальное количество дефектных звонков равно
$$m = m_1 + ... + m_k = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}$$

Вычисления вероятностей будем производить в соответствии с классическим определением вероятности.

I. Имея в виду, что

$P(B_j) = \frac{n_j}{n}$ - вероятность того, что звонок будет обслужен $j$-ой станцией (доля звонков, обслуживаемых $j$-ой станцией)

и

$P(A | B_j) = \frac{m_j}{n_j}$ - вероятность того, что обслуженный $j$-ой станцией звонок будет дефектным (доля дефектных звонков при обслуживании $j$-ой станцией),

согласно формуле Байеса, условная вероятность $P(B_j|A)$ вычисляется по формуле:

$$P(B_j | A) = \frac{P(B_j) \cdot P(A | B_j)}{P(B_1) \cdot P(A | B_1) + ... + P(B_k) \cdot P(A | B_k)} = $$
$$= \frac{\frac{n_j}{n}\cdot\frac{m_j}{n_j}}{\frac{n_1}{n}\cdot\frac{m_1}{n_1} + ... + \frac{n_k}{n}\cdot\frac{m_k}{n_k}} = \frac{\frac{m_j}{n}}{\frac{m_1}{n} + ... + \frac{m_k}{n}} = \frac{m_j}{m}.$$
Получаем следующую формулу для вычисления условной вероятности $P(B_j | A)$ обслуживания дефектного звонка $j$-ой станцией:
$$P(B_j | A) = \frac{m_j}{m}.$$

II. Вероятность того, что дефектный звонок, случившийся на $j$-ой станции случился из-за события $C_i$ на этой станции, вычисляется по формуле
$$P = \frac{c_{i,j}}{m_j},$$
так как $m_j$ - общее количество дефектных звонков на $j$-ой станции, а $c_{i,j}$ - количество дефектных звонков на этой станции по причине $C_i$.

III. Вероятность того, что во время обслуживания звонка $j$-ой станцией случится событие (авария) $C_i$, вычисляется по формуле
$$P = \frac{c_{i,j}}{n_j}$$

IV. Вероятность того, что любой звонок будет дефектным по причине события $C_i$ на $j$-ой станции, вычисляется по формуле
$$P = \frac{c_{i,j}}{n}$$

V. Cогласно формуле Байеса, условная вероятность $P(C_i|A)$ - вероятность того, что случайно выбранный звонок оказался дефектным по причине $C_i, \quad i=1,...,l$, вычисляется по формуле:
$$\quad P(C_i | A) = \frac{P(C_i) \cdot P(A | C_i)}{P(C_i) \cdot P(A | C_i) + ... + P(C_i) \cdot P(A | C_i)}$$
Здесь

$P(C_i) = \frac{\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}}{n}$ - доля дефектных звонков из-за причины $C_i$,

$P(A | C_i) = 1$ - вероятность того, что звонок окажется дефектным, если произошло событие $C_i$.

Следовательно,
$$\quad P(C_i | A) = \frac{\frac{\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}}{n} \cdot 1}{\frac{\sum_{j=1}^{k}c_{1,j}}{n} \cdot 1 + ... + \frac{\sum_{j=1}^{k}c_{1,j}}{n} \cdot 1} = \frac{\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}}{\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}},$$
$$\quad P(C_i | A) = \frac{\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}}{m}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильно ли считаю вероятности?
Сообщение09.12.2014, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4068
Насколько я могу судить, при наиболее естественных интерпретациях всех формулировок все формулы верны (хорошо бы ещё кто-то из сообщества это подтвердил независимо).

rahmatjon
Отдельно хочу обсудить формулировку последнего пункта. Она не интерпретируется абсолютно однозначно, поэтому я предложу своё понимание, а Вы подтвердите, пжл.
В п. V нам требуется найти вероятность того, что случайно выбранный из статистики звонок имеет причину дефекта $C_i$ при условии, что этот звонок оказался дефектным.
Вы точно этого хотели? Вы не видите в формулировке никакого масляного масла? Как по мне, даже из формулировки (не только из ответа) видно, что применение формулы Байеса здесь совершенно излишне.

Если это Вам важно, советую вникнуть в задачу на таком уровне, чтобы суметь сформулировать её в терминах урн и шаров. Это совсем несложно. У Вас есть $k$ урн и $l+1$ цвет (плюс один -- это прозрачные шары удачных звонков). Будем считать, что шары вдобавок подписаны номерами урн (здесь это лишнее, но в будущем может пригодиться).
Ваша формулировка (и решение) последнего пункта эквивалентна следующей задаче:
Сложим все шары в одну общую урну. Найти вероятность того, что случайно вытянутый шар из общей урны имеет цвет $C_i$ при условии, что он не прозрачный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group