2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача, теоремы Силова
Сообщение28.11.2014, 14:17 


20/12/13
139
Доказать, что если $P$ - силовская подгрупа группы G, то для подгруппы $H$, которая содержит $N_G (P)$, действительно следующее: $N_G (H)=H$.
Решил разделить на два случая, когда $N_G (P)=H$ и когда $N_G (P) \subset H$.
У меня получилось доказать для случая, если $H=N_G (P)$. Там довольно простой случай: если $N_G (H) \neq H$, тогда существует такой эелемент $g \in N_G (H) \textbackslash H$, что сопряжением переводит подгруппу $P$ в некоторую силовскую подгруппу $Q$, которая в таком случае лежит в подгруппе $H$ и $Q \neq P$, в противном случае элемент $g$ должен был бы лежать в нормализаторе подгруппы $P$. Но это означает, что $Q$ нормализует $P$, а значит $Q=PQ=Q$, пришли к противоречию, допустив, что существует элемент $g \in N_G (H) \textbackslash H$. Значит справедливо $N_G (H)=H$.

Второй же случай у меня не получилось доказать, засторопился на этом месте:
Рассмотрим произвольный элемент $g \in H \textbackslash N_G (P)$. Он переводит подгруппу $P$ в $Q$, $P \neq Q$. $Q$ действуя на $P$ сопряжениями создает орбиту длиной $p^\alpha$, $\alpha \leq n-1$, где $n$ максимальная степень $p$, которая делит порядок группы $G$. Это означает, что вместе с группой $P$ в $H$ лежит $p^\alpha +1$ силовских подгрупп(по теореме силова о количестве силовских подгрупп). Вот дальше никак не идет. Но есть подозрение, что всякая группа, $H$, которая будет содержать нормализатор может быть либо сама этим нормализатором $P$ и тогда все сводится к первому случаю, либо будет равна $G$ и тогда утверждение выполняется тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача, теоремы Силова
Сообщение28.11.2014, 16:24 


20/12/13
139
Пардон, в месте, где пришли к противоречию, конечно, $Q=PQ=P$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача, теоремы Силова
Сообщение28.11.2014, 22:21 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Пусть $H$- наша подгруппа. Тогда $H$ содержит $P = P_1$ и какие-то еще другие силовские подгруппы $P_2$, $\ldots$, $P_k$. Все они сопряжены в $H$, так как являются силовскими подгруппами в $H$. Если $x \in N(H)$, то $x$, действуя сопряжением, как-то переставляет эти подгруппы. Осталось немного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача, теоремы Силова
Сообщение28.11.2014, 22:34 


20/12/13
139
всё ещё не доходит, мне нужна более подробная подсказка :-) Я об этом уже думал, но не пришёл ни к чему

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача, теоремы Силова
Сообщение28.11.2014, 22:37 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Пусть $xPx^{-1} = P_2$. Тогда найдется такой $h \in H$, что $hPh^{-1} = P_2$. Что можно сказать про $h^{-1} x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача, теоремы Силова
Сообщение28.11.2014, 23:10 


20/12/13
139
Что $h^{-1} x$ лежит в $N_G (P)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача, теоремы Силова
Сообщение28.11.2014, 23:13 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Так. Осталось нужный вывод сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача, теоремы Силова
Сообщение28.11.2014, 23:19 


20/12/13
139
То есть всякий элемент, который бы переводил P в одну из силовских подгрупп, лежащих целиком в $H$, обязательно лежит в $H$, потому что если $h^{-1} x$, то $x \in H$. Спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group