2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Компактность оператора
Сообщение26.11.2014, 03:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Есть оператор $T:L^2[0;1] \to L^2[0;1]$, который задается равенством $$(Tf)(x) = \int_0^1 K(x,y)f(y)dy, \; \textmd{где } \; K(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$
Нужно доказать, что он компактен.
В случае, если бы оператор был $C[0;1] \to C[0;1]$. Помогла бы срезка ядра: $K_n(x,y) = \min\{n,K(x,y)\}$. И можно показать, что соответствующая последовательность компактных операторов $(T_nf)(x) = \int_0^1K_n(x,y)f(y)dy$ сходится к $T$.
Здесь же, $\sup\|T_n\| = +\infty$. Так что никакой сходимости не получится. Критерий предкомпактности подмножества в $L^p$ желательно не использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность оператора
Сообщение26.11.2014, 05:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Он Гильберта-Шмидта: ядро квадратично интегрируемо на квадрате.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность оператора
Сообщение26.11.2014, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
ewert в сообщении #936199 писал(а):
Он Гильберта-Шмидта: ядро квадратично интегрируемо на квадрате.

Про компактные операторы пока ничего не известно, кроме определения и некоторых базовых свойств(о композиции, пределе и т.д.).

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность оператора
Сообщение26.11.2014, 18:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну вот о пределе. Значит, известно, что предел по норме конечномерных операторов -- компактен.

Так вот, если $\{\psi_k(x)\}$ -- полная ортогональная система функций на отрезке, то $\{\psi_i(x)\cdot\psi_k(y)\}$ -- полная ортогональная система на квадрате. И ядро, будучи квадратично интегрируемым, раскладывается по этой системе в ряд Фурье. А частичные суммы (двухиндексные) этого ряда, интерпретируемые как ядра, задают именно конечномерные операторы. А сходимость ядер по эль-два-норме влечёт за собой сходимость самих операторов по операторной норме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность оператора
Сообщение26.11.2014, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
ewert в сообщении #936419 писал(а):
Ну вот о пределе. Значит, известно, что предел по норме конечномерных операторов -- компактен.

Так вот, если $\{\psi_k(x)\}$ -- полная ортогональная система функций на отрезке, то $\{\psi_i(x)\cdot\psi_k(y)\}$ -- полная ортогональная система на квадрате. И ядро, будучи квадратично интегрируемым, раскладывается по этой системе в ряд Фурье. А частичные суммы (двухиндексные) этого ряда, интерпретируемые как ядра, задают именно конечномерные операторы. А сходимость ядер по эль-два-норме влечёт за собой сходимость самих операторов по операторной норме.

По сути получилось доказательство этой самой теоремы о компактности оператора Гильберта-Шмидта. Спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность оператора
Сообщение27.11.2014, 17:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну я просто не понимаю, как могло бы естественным образом получиться иначе. В любом ином варианте вылезет то ли кустарщина, то ли ловля блох, то ли одновременно, и при этом с непременным занудством.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group