2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 19:22 


17/11/14
2
Встретился следующий НИЗОП:
$$I(\alpha) = \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha}$$
Заменой $x^\alpha = tg^2(t)$ интеграл сводится к $\frac{2}{\alpha} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}  sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}dt = \frac{1}{\alpha} \cdot B(\frac{1}{\alpha}, 1 - \frac{1}{\alpha}}) = \frac{1}{\alpha} \cdot \Gamma(\frac{1}{\alpha}) \cdot \Gamma(1-\frac{1}{\alpha}) = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{\pi}{sin(\frac{\pi}{\alpha})}$
Возник вопрос, а можно ли взять интеграл аналитически если нижний предел отличен от 0?)
(То есть такой интеграл: $$\int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 19:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
hamiltonvas в сообщении #932534 писал(а):
Возник вопрос, а можно ли взять интеграл аналитически если нижний предел отличен от 0?)

Ну Вы же сами практически на этот вопрос и ответили: вылезет неполная бета-функция. Можно ли выразить её аналитически, если и с полной-то некоторые проблемы?...

Гораздо интереснее другой вопрос: кто такой НИЗОП?

 Профиль  
                  
 
 Re: НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
ewert в сообщении #932545 писал(а):
Гораздо интереснее другой вопрос: кто такой НИЗОП?
Если не "Наиболее Изощренный Звук Отвлекающий Преподавателя", то, видимо, "Несобственный интеграл, зависящий от параметра".

 Профиль  
                  
 
 Re: НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 22:06 


17/11/14
2
Да, provincialka угадала)
$$\int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha} = \frac{2}{\alpha}\int\limits_{\arctg c^\frac{\alpha}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) \cdot cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}(t)dt$$
Разложим на два интеграла:
$$ \int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha} = \frac{2}{\alpha} \cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) \cdot cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}(t)dt - \frac{2}{\alpha} \int\limits_{0}^{\arctg c^\frac{\alpha}{2}}} sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) \cdot cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}(t) dt $$
ewert, правильно понимаю?
$$ \int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha} = \frac{1}{\alpha} \cdot B(\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha}) - \frac{1}{\alpha} \cdot B_\arctg c^\frac{\alpha}{2}} (\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha})$$
И все, с этой красотой дальше уже ничего сделать нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 22:17 


29/09/06
4552
hamiltonvas в сообщении #932591 писал(а):
И все, с этой красотой дальше уже ничего сделать нельзя?
Можно:$$B\color{magenta}\left({\color{black}\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha}}\right)$$Так гораздо красивше.

 Профиль  
                  
 
 Re: НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 22:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Алексей К. в сообщении #932603 писал(а):
Можно:$$B\color{magenta}\left({\color{black}\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha}}\right)$$

И не только это; это лишь половина правды.

(hamiltonvas, Алексей К. намекает, что вопрос празден)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group