2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 20:37 


28/05/12
214
Найти геометрическое место точек из которых можно провести взаимно перпендикулярные касательные к эллипсу $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Я пробовал взять произвольную касательную к эллипсу $\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$, затем строил перпендикулярную ей вторую касательную и пытался найти точку пересечения, но там получаются ужасные выражения. Думаю надо как то в обход делать, но не понимаю как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Я знаю одно решение, только эта задача олимпиадная.

Лучше через искомую точку $(x, y)$ провести прямую (в параметрической форме) и сформулировать условие ее касания с эллипсом (через дискриминант). И такое же - для перпендикулярной прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 21:56 


28/05/12
214
Параметрическое задание прямой: $x=x_0 + k_1t, y=y_0+k_2t$, условие касания с эллипсом получилось такое:
${(\frac{k_2}{k_1}+\frac{x_0y_0}{a^2-x_0^2})}^2=\frac{y_0^2a^2+b^2x_0^2-b^2a^2}{a^2-x_0^2}$
правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Может, не знаю... У меня в решении оно без дробей. Довольно несложное выражение, квадратичное относительно $k_1,k_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 22:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А можно и так: параметризовав эллипс, можно, взяв одну точку на нём, получить вторую, касательная к которой перпендикулярна первой, и оба касательных вектора. Остаётся решить линейную систему $\mathbf r_1 + \lambda\boldsymbol\tau_1 = \mathbf r_2 + \mu\boldsymbol\tau_2$, и то найти только одно из $\lambda,\mu$. Возни, правда, много; её можно немного сократить, сразу же введя сокращения $c=\cos t,s=\sin t$.

По-моему, олимпиадная если что для школы. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
arseniiv. может, только в школе ни эллипс, ни тем более, касательные к нему не проходят. :-)

-- 16.11.2014, 22:30 --

Slow, кстати, у вас точка $(x_0,y_0)$ лежит на эллипсе? Я предлагала взять точку на искомом ГМТ, если что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 22:31 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Потому и олимпиадная! :lol: Хм, да, получается, что для второго курса уже точно не, и для конца школы ещё точно не… В общем, надеюсь, мой метод решения тоже пригоден на практике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань

(школьникам?)

Посмотрела бы я, что бы с нами сделали, если бы мы такую задачу на олимпиаде для школьников предложили :-( Нам даже логарифмы включать не дают, потому что в некоторых школах их проходят во втором полугодии 11 класса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 22:39 


28/05/12
214
Выпишу ход решения:
$\frac{x_0^2+2k_1tx_0+k_1^2t^2}{a^2}+\frac{y_0^2+2k_2ty_0+k_2^2t^2}{b^2}=1$
$t^2(\frac{k_1^2}{a^2}+\frac{k_2^2}{b^2})+2t(\frac{k_1x_0}{a^2}+\frac{k_2y_0}{b^2})+\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}-1$=0
$D = 4(\frac{k_1^2x_0^2}{a^4}+\frac{2k_1k_2x_0y_0}{a^2b^2}+\frac{k_2^2y_0^2}{b^4})-4(\frac{k_1^2}{a^2}+\frac{k_2^2}{b^2})(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}-1)=0$
$\frac{k_1^2}{a^2}+\frac{k_2^2}{b^2}+\frac{2k_1k_2x_0y_0}{a^2b^2}-\frac{k_2^2x_0^2}{b^2a^2}-\frac{k_1^2y_0^2}{b^2a^2}=0$
Делим все на $k_1$ и делаем замену $z=\frac{k_2}{k_1}$
$z^2(a^2-x_0^2)+2z\frac{x_0y_0}{a^2b^2}+b^2-y_0^2=0$
$D=4(y_0^2a^2+b^2x_0^2-b^2a^2)$
Ну и дальше ответ который я писал выше.
И дальше ничего хорошего у меня не получилось.
Точку я беру не на эллипсе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
arseniiv в сообщении #932062 писал(а):
В общем, надеюсь, мой метод решения тоже пригоден на практике.
А вы попробуйте! Интересно, сколько будет страниц выкладок?

-- 16.11.2014, 22:45 --

Slow в сообщении #932071 писал(а):
$z^2(a^2-x_0^2)+2z\frac{x_0y_0}{a^2b^2}+b^2-y_0^2=0$
Вот, вот! Примерно это уравнение. Только проверьте среднее слагаемое: там, вроде, не должно быть знаменателя. Впрочем, это слагаемое нам как раз и не особо нужно.

А что изменится, если взять перпендикулярную прямую?

(Оффтоп)

Кстати, не обязательно было переходить к отношению $z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 22:58 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
provincialka в сообщении #932073 писал(а):
А вы попробуйте! Интересно, сколько будет страниц выкладок?
Так попробовал ведь (иначе бы не писал, боюсь ерунду предложить). Нашёл $\mu$ в виде дроби от $a,b,c,s$, не сильно большой. Семь умножений, четыре возведения в квадрат, минус и два плюса. Дальше не упрощал, от $t$ тоже не избавлялся. Если надо избавиться — тогда могут и пойти сложности, наверно.

-- Пн ноя 17, 2014 02:01:04 --

arseniiv в сообщении #932079 писал(а):
Нашёл $\mu$
Пары десятков строк хватило.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 23:01 


28/05/12
214
Да, в среднем слагаемом я описался, дальше все выкладки мои лишними были. Получается гмт это окружность:$x^2+y^2=a^2+b^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Slow Точно!

-- 16.11.2014, 23:15 --

arseniiv в сообщении #932079 писал(а):
Пары десятков строк хватило.
Вы прямо трудоголик! А уравнение из этого сразу получается?
В решении Slow четыре строки привели к основному соотношению, из которого постой заменой $(k_1,k_2)$ на $(-k_2,k_1)$ получаем второе соотношение, сумма этих двух дает ответ.

Но тут уж возникает "философский" вопрос: что лучше - естественное, но длинное решение, или краткое но "с изюминкой". То ли придет этот изюм в голову, то ли нет...

(Оффтоп)

Мне всегда бывает жаль, что при составлении олимпиады задачки приносят уже с решением: не получается оценить "на себе" их сложность. Кстати, пора уже макет новой студенческой олимпиады формировать: скоро 1 декабря, день рождения Лобачевского.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
То есть эллипс подобен отрезку - в том смысле, что у того ГМ точек, из которых он виден под прямым углом, тоже будет окружность.
Хм, ну надо же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из аналитической геометрии
Сообщение16.11.2014, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
ИСН, да, забавно! Хотя скорее уж надо формулировать так: отрезок, как вырожденный эллипс, имеет такое же ГМТ "видения под прямым углом".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group