Теория Вероятностей(Мат. Ожидание)

[provincialka]

Да нет. Вы же про модуль говорили? Ну, запишите, как выглядит на данный момент функция "периметр", выраженная через два угла.

[tazdraperm]

Ну, поскольку я принял $\gamma=0$, то остаются как раз два угла, получается 2(|\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})|+|\sin(\frac{\beta}{2})|+|\sin(\frac{-\alpha}{2})|)

[provincialka]

У вас $\alpha$ и $\beta$ от 0 до $2\pi$, так что знак последних двух слагаемых ясен. А первое зависит от того, что больше, $\alpha$ или $\beta$. Достаточно рассмотреть только один вариант, так как на второй половине квадрата все будет симметрично и среднее будет то же.

[tazdraperm]

Ну я брал так: 2\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{\beta}(-\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})+\sin(\frac{\beta}{2})-\sin(\frac{\alpha}{2}))d \alpha+\int_{\beta}^{2\pi}(+\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})+\sin(\frac{\beta}{2})-\sin(\frac{\alpha}{2}))d \alpha)d \beta
То есть, когда $\alpha$ принадлежит $[0,\beta]$, синус отрицателен, а во втором случае соответственно положителен. Как-то так.

UPD: ну и делить все это на плотности $\alpha$ и $\beta$ то есть домножить на $\frac{1}{4\pi^2}$

[provincialka]

1. Зачем два интеграла брать, они равны.
2. Почему перед $\sin\frac\alpha2$ минус? Плюс должен быть.

[tazdraperm]

1. Да мне как-то с двумя интегралами интуитивно понятнее что ли
2. Да, точно, минус "съедается" модулем

[provincialka]

Вот и считайте свои интегралы! Остался последний рывок!

[tazdraperm]

Ну, посчитав два интеграла в скобках, получаю $M(P)=\frac{2}{4\pi^2}\int_{0}^{2\pi}2\pi\sin(\frac{\beta}{2})d \beta=\frac{-2}{\pi}(\cos(\pi)-\cos(0))=\frac{4}{\pi}$

[ИСН]

Это весь окончательный ответ или какая-то его часть?

[tazdraperm]

По идее весь. Посчитал двойной интеграл от функции двух случайных величин, умноженной на плотности распределения этих величин. Это и есть мат ожидание, если я ничего не путаю.

[ИСН]

У Вас там выше фигурировал интеграл от трёх синусов. Теперь я вижу интеграл от одного синуса. Что случилось с двумями другими: убились, преобразовались, потерялись, равны нулю, или просто не нужны?

[tazdraperm]

Так я сразу расписал внешний интеграл, я не писал подсчет двух внутренних, там несколько громоздко, но считаются они элементарно. У меня и написано "посчитав два интеграла в скобка, получаю...".

[ИСН]

Я тоже не буду писать подсчёт двух внутренних, там несколько громоздко, ведь в них по три слагаемых в каждом. Я распишу одно слагаемое в каждом из них. Итак, очевидно, что $\int\limits_0^\beta\sin\frac\beta2 d\alpha+\int\limits_\beta^{2\pi}\sin\frac\beta2d\alpha$=2\pi\sin\frac\beta2. Одно это слагаемое дало весь Ваш результат. Остальные два не дали, получается, ничего. Почему.

[provincialka]

Можно было интеграл от $\sin\frac\alpha2$ посчитать по всему квадрату и умножить на 2, так как для $\beta$ он в точности такой же. Но еще придется интегрировать $|\sin\frac{\alpha-\beta}{2}|$

[ИСН]

(Оффтоп)

Тот тоже такой же, но мы ему этого не скажем.