2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение21.11.2014, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
kp9r4d в сообщении #933920 писал(а):
А как можно проще? Для обратимых $A$ задача очевидна, а для необратимых, может можно как-то с ядром базис согласовать, тогда у матрицы первые несколько столбцов будут нулевые. А дальше даже и не знаю.
В этой задаче не обязательно считать, что $A$ действует на одном пространстве, так что обнулить можно не только строки, но и столбцы.

1.12 Верно.
kp9r4d в сообщении #934411 писал(а):
Рассмотрим функционалы $A : x \mapsto B(x,\cdot)$, $A^T : x \mapsto B(\cdot, x)$ из пространства векторов в пространства ковекторов.
Все-таки не функционалы, а операторы.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение22.11.2014, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Xaositect
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение23.11.2014, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Задача 1.15
Пусть оператор $A: V \to V$ диагонализируем, $\operatorname{dim} V = n$. Тогда собственные значения $A$ различны титтк $A$ имеет циклический вектор, т.е. такой вектор $x$, что $x, Ax, A^2 x, ..., A^{n-1} x$ порождают всё пространство.
Решение
С.з. различны $\to$ есть циклический вектор.
Сразу перейдём в базис, в котором $A$ диагональна. Докажем, что любой вектор, у которого все координаты ненулевые при условиях задачи будет циклическим. Пусть это вектор $x$, а собственные значения у $A$ равны $\mu_0, \mu_1, ..., \mu_{n-1}$. Условие на то, что вектор $x$ циклический можно записать так: из $\lambda_0 x + \lambda_1 Ax + \lambda_2 A^2 x + ... + \lambda_{n-1} A^{n-1}x = 0 $ следует $\lambda_0=\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_{n-1}=0$. Это эквивалентно тому, что система:
$$
\begin{cases}
\lambda_0 x_0 + \lambda_1 \mu_0 x_0 + \lambda_2 \mu_0^2 x_0 + ... + \lambda_{n-1}\mu_0^{n-1} x_{n-1} = 0 \\
\lambda_0 x_1 + \lambda_1 \mu_1 x_1 + \lambda_2 \mu_1^2 x_1 + ... + \lambda_{n-1}\mu_1^{n-1} x_{n-1} = 0 \\
...\\
\lambda_0 x_{n-1} + \lambda_1 \mu_{n-1} x_{n-1} + \lambda_2 \mu_{n-1}^2 x_{n-1} + ... + \lambda_{n-1}\mu_{n-1}^{n-1} x_{n-1} = 0\\
\end{cases}
$$
невырождена. Поделив каждую строчку на $x_i$ (мы условились, что все координаты ненулевые) получим определитель Вандермонда. Который не равен нулю, когда все $\mu_i$ различны.
Есть циклический $\to$ с.з. различны.
В базисе, порождённым циклическим вектором, матрица будет выглядить как фробениусова клетка, у которой минимальный многочлен совпадает с характеристическим. У диагональной матрицы с хотя бы двумя одинаковыми элементами на диагонали - минимальный многочлен не совпадает с характеристическим. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение26.11.2014, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Задача 1.18
Если $A^k=E$ для некоторого $k$, то $A$ - диагонализируем.
Решение
С одной стороны, минимальный многочлен должен делить $x^k-1$, у которого все корни кратности $1$, с другой стороны, минимальный многочлен - равен $(x-\lambda_i)^{m_i}$, где $m_i$ - это максимальный порядок жордановой клетки, отвечающей значению $\lambda_i$. Отсюда тривиально получаем, что все $m_i=1$ а отсюда, что матрица в жордановом базисе приобритает диагональный вид.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение28.11.2014, 02:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Задача 1.16
Сформулировать необходимые и достаточные условия того, что матрица ниже диагонализируема.
$$
\begin{pmatrix}
&&&\lambda_1\\
&&\lambda_2&\\
&\ddots&&\\
\lambda_n&&&\\
\end{pmatrix}
$$
Решение
Очевидно, что если все элементы ненулевые, то многочлен $\prod (x^2-\lambda_i)$, где все $\lambda_i$ взяты без повторений, является аннулирующим. Этот многочлен раскладывается на линейные множители с единичной кратностью, а это значит, матрица диагонализируема. Если среди $\lambda_i$ есть нулевые элементы, то этот аннулирующий многочлен выше будет также аннулирующим, однако, за счёт члена $(x-0)^2$ у него появляются кратные корни. Впрочем, если этот кратный множитель (равный $x^2$) не вошёл в минимальный многочлен, то матрица по-прежнему будет диагонализируема, рассмотрим случаи, когда он вошёл. Это означает, что у нашего оператора в жордановом виде есть жорданова нильпотентная клетка порядка $2$. То есть существуют векторы $v$ такие, что $Av \neq 0$ и $A^2 v = 0$. Если воспользоваться комбинаторным смыслом умножения на матрицу такого вида (перестановка строк в обратном порядке с предшествующим этому домножением на коэффициент $\lambda_i$), то можно сделать простой вывод, что такой вектор можно построить тогда и только тогда, когда в паре $\lambda_i,\lambda_{n-i+1}$ есть ровно один нуль.
Итого получаем следующий ответ: матрица такого вида диагонализируема тогда и только тогда, из $\lambda_i=0$ следует $\lambda_{n-i+1}=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение28.11.2014, 04:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
$\prod (x^2-\lambda_i)$
Поправка, правильно должно быть так:
$\prod (x^2-\lambda_i^2)$
Если кто-то вдруг случайно прочитал доказательство, понял его и согласился с ним (и предыдущие два тоже), отпишите об этом, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение28.11.2014, 06:22 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
kp9r4d в сообщении #933910 писал(а):
Задача 1.33
Для любого оператора $A$ существует оператор $B$, такой что $ABA=A$.
Решение
Перейдём в жорданов базис оператора $A$, после этого можно работать с каждой жордановой клеткой отдельно. Обратимые клетки неинтересны: можно взять просто обратную матрицу, значит, задачу осталось решить лишь для матрицы $L$, у которой все элементы нулевые, кроме субдиагональных, которые единичные (т.е. $a_{12}=a_{23}=...=a_{k-1,k}=1$). А для таких матриц верно, что $L L^{T} L = L$ (проверяется непосредственной выкладкой или по индукции).
Здесь достаточно воспользоваться таким простым фактом: всякая матрица $A$ представима в виде $A=UE_rV$, где $U$, $V$ --- невырожденные матрицы, а $E_r$ --- матрица с $r=\mathrm{rank}{A}$ единичками на главной диагонали.

Странно, что задача 1.33 находится в списке трудных задач.

-- Пт ноя 28, 2014 10:27:34 --

kp9r4d в сообщении #936639 писал(а):
Задача 1.18
Если $A^k=E$ для некоторого $k$, то $A$ - диагонализируем.
Решение
С одной стороны, минимальный многочлен должен делить $x^k-1$, у которого все корни кратности $1$, с другой стороны, минимальный многочлен - равен $(x-\lambda_i)^{m_i}$, где $m_i$ - это максимальный порядок жордановой клетки, отвечающей значению $\lambda_i$. Отсюда тривиально получаем, что все $m_i=1$ а отсюда, что матрица в жордановом базисе приобритает диагональный вид.
Верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение28.11.2014, 07:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
nnosipov в сообщении #937253 писал(а):
Здесь достаточно воспользоваться таким простым фактом: всякая матрица $A$ представима в виде $A=UE_rV$, где $U$, $V$ --- невырожденные матрицы, а $E_r$ --- матрица с $r=\mathrm{rank}{A}$ единичками на главной диагонали.

Действительно, очевидно, тупо метод Гаусса. Ну а в качестве $B$ следует взять $V^{-1} U^{-1}$. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение28.11.2014, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

Навеяно одной из задач: тривиально доказывается, что объединение двух подпространств является лин. пространством если и только если одно из этих подпространств лежит в другом. Верно ли, что объединение нескольких подпространств является лин. пространством если и только если одно из этих подпространств содержит все другие?

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение28.11.2014, 21:54 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Brukvalub в сообщении #937538 писал(а):
Верно ли, что объединение нескольких подпространств является лин. пространством если и только если одно из этих подпространств содержит все другие?
Если объединение $\alpha$ подпространств над полем мощности $\beta$ является линейным пространством и $\alpha<\beta$, то одно из этих подпространств содержит все другие. Для конечного $\beta$ это легко видеть из соображений мощности, для бесконечного - доказательство ниже.

Ясно, что все векторы собственного подпространства $V\subset\mathbb{F}^n$ удовлетворяют некоторому однородному уравнению $a_1x_1+\ldots+a_nx_n=0$. Многочлен $a_1+a_2x\ldots+a_nx^{n-1}$ имеет не более $n-1$ корней, поэтому $V$ содержит не более $n-1$ векторов вида $c_t=(1,t,t^2,\ldots,t^{n-1})$. Если объединение $\cup_{i\in\alpha} V_i$ собственных подпространств пространства $\mathbb{F}^n$ равно всему $\mathbb{F}^n$, то это объединение содержит все $c_t$, которых $|\mathbb{F}|$ штук, откуда $|\alpha|\geqslant|\mathbb{F}|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение29.11.2014, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Задача 1.17
Найти нормальную жорданову форму оператора
$$
A^n = \begin{pmatrix}
1&\lambda&&\\
&1&\ddots&\\
&&\ddots&\lambda\\
&&&1\\
\end{pmatrix}^n
$$
Решение
При $\lambda=0$ эта матрица будет диагональной. Пусть $\lambda \neq 0$ и $d=\operatorname{dim} V$. Тогда, очевидно, многочлен $(x-1)^d$ будет аннулирующим. И, как нетрудно заметить, многочлены $(x-1)^{d-k}, k = 1..d$ аннулирующими не будут, то есть $(x-1)^d$ ещё и минимальный. Выходит, по известной теореме, что жорданова форма $A^n$ состоит из одной жордановой клетки, отвечающей (единственному) собственному значению $1$ и имеющей порядок $d$.
Ответ: при $\lambda \neq 0$
$$
\begin{pmatrix}
1&1&&\\
&1&\ddots&\\
&&\ddots&1\\
&&&1\\
\end{pmatrix}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение30.11.2014, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Задача 1.20
Операторы $A,B : V \to W$ называются эквиивалентными, если существуют изоморфизмы, делающие диаграмму
$$
\xymatrix{
    V \ar[r]^-A \ar[d]^-\varphi & W \ar[d]^-\psi \\
    V \ar[r]^-B             & W
}
$$
коммутативной. Сколько существует классов эквивалентности операторов для данной пары пространств $V,W$?
Решение
Ответ: $\min(\dim V,\dim W)$. Это следует из
nnosipov в сообщении #937253 писал(а):
Здесь достаточно воспользоваться таким простым фактом: всякая матрица $A$ представима в виде $A=UE_rV$, где $U$, $V$ --- невырожденные матрицы, а $E_r$ --- матрица с $r=\mathrm{rank}{A}$ единичками на главной диагонали.


Я не могу решить 19 задачу, надеюсь на подсказку.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение30.11.2014, 20:41 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
kp9r4d в сообщении #938501 писал(а):
Я не могу решить 19 задачу, надеюсь на подсказку.
Пусть $B^k=O$ и $x$ --- собственный вектор $A$ с собственным значением $\lambda$. Рассмотрите вектор $y=B^{k-1}x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение01.12.2014, 02:40 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
kp9r4d в сообщении #938501 писал(а):
Ответ: $\min(\dim V,\dim W)$.
Забыли, кстати, один оператор (он один такой).

 Профиль  
                  
 
 Re: [Линейная алгебра] Прошу проверить решения
Сообщение01.12.2014, 02:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
nnosipov
Нулевой, да. Надо ещё $+1$ поставить.

-- 01.12.2014, 02:56 --

nnosipov в сообщении #938520 писал(а):
Пусть $B^k=O$ и $x$ --- собственный вектор $A$ с собственным значением $\lambda$. Рассмотрите вектор $y=B^{k-1}x$.

Да, очень просто окозалось, стыдно даже, что не додумался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 114 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group