[Линейная алгебра] Прошу проверить решения

[kp9r4d]

Всё ещё нужна помощь с тем, как доказать, что множество «плохих» операторов из задачи 1.8 имеет меру ноль. И с тем, что такое «наложение» в задаче 1.10.
В 1.11 ответ $(-1)^{\deg P} P$, напишу доказательство как приду.

[Xaositect]

kp9r4d в сообщении #930764 писал(а):

Всё ещё нужна помощь с тем, как доказать, что множество «плохих» операторов из задачи 1.8 имеет меру ноль.

Например, можно написать многочлен от элементов матрицы, равный 0 на матрицах, у которых есть кратные собственные значения.

[kp9r4d]

Xaositect
Да, коэффициенты характеристического многочлена через элементы матрицы выразить можно: при $\lambda^{n-k}$ стоит сумма главных миноров порядка $k$, умноженная на $(-1)^{n-k}$. А далее можно взять дискриминант.

Задача 1.11
Пусть $K$ поле, $V = K[t]/P \cdot K[t]$, где $P \in K[t]$. Найдите характеристический многочлен оператора «умножение на t».
Решение
Пусть $P = a_0 + a_1 t + ... + a_{n-1} t^{n-1} + t^n$, пользуясь сравнением:
$t^n \equiv - (a_0 + a_1 t + ... + a_{n-1} t^{n-1}) \mod P$ в базисе $t^{n-1}, t^{n-2}, ..., t, 1$ можно «сконструировать» оператор следующим образом: под действием оператора на многочлен, все коэффициенты не при $t^{n-1}$ он должен «поднять на уровень вверх» а коэффициент при $t^{n-1}$ должен домножаться на соответствующие коэффициенты при $-(P-x^{n})$. То есть матрица выглядит так:

$$ \begin{pmatrix} -a_{n-1} & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a_{n-2} & 0 & 1 &\cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ -a_1 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ -a_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$

Вычисление характеристического многочлена сводится к вычислению простого определителя. Ответ: $P$.

-- 16.11.2014, 03:50 --

Задача 1.13
В евклидовом пространстве единичная сфера $(x,x)=1$ есть множество крайних точек единичного шара $(x,x) \leqslant 1$ (точка $x$ не крайняя в $X$, если она есть середина некоторого отрезка, лежащего в $X$).
Решение
Заменим на эквивалентные условия: $(x,x)^2=1$, $(x,x)^2 \leqslant 1$. Индуцируем норму.
В одну сторону: пусть A точка, такая, что $|OA| = 1$, но не крайняя. Найдём отрезок $BC$, лежащий в шаре, и серединой которого является $A$. Из того, что отрезок лежит в шаре следует
$|OB| \leqslant 1$
по неравенству треугольника
$|OB| \leqslant |OA| + |AB|$
$|OB| \leqslant 1 + |AB|$
отсюда
$|AB| = 0$
в другую сторону: пусть $|OA| < 1$, тогда $A$ середина отрезка с концами $A + (1-|OA|)/2 \cdot A$, $A - (1-|OA|)/2 \cdot A$.

[kp9r4d]

Задача 1.31
В кольце операторов в пространстве нет двусторонних идеалов.
Решение
Зафиксируем в пространстве базис и будем работать с матрицами. Рассмотрим «построение» $f(A,i,j,k,l)$ которое в матрице $A$ ставит элемент $(i,j)$ на место $(k,l)$ а все остальные элементы обнуляет. Это можно сделать так: слева домножаем на матрицу, у которой на месте $(i,k)$ единица, а на остальных нули, а справа на матрицу, у которой на месте $(j,l)$ единица, а на остальных нули. Пусть у нас есть нетривиальный идеал, рассмотрим любой его ненулевой элемент - матрицу $M$, а в ней любой её ненулевой элемент $x=M_{ij}$. С помошью построения $f$ можно утверждать, что идеал содержит в себе все матрицы, у которых на месте $(i,j)$ стоит $x$ для любых $(i,j)$, а на остальных местах нули. Так как идеал замкнут относительно суммы, то он содержит и диагональную матрицу, а так как она обратима — идеал тривиален.

Всё ещё надеюсь, что это кто-то проверяет, если есть замечания - пишите.

[kp9r4d]

Задача 1.32
В кольце операторов в пространстве найти все левые и правые идеалы.
Решение
Рассмотрим, например, левый идеал. Пользуясь соображениями из предыдущей задачи можно заключить, что если в матрице, лежащей в идеале, на месте $ij$ стоит ненулевой элемент, то в идеале сразу есть все матрицы, у которых столбец $j$ как угодно заполнен. Соответственно все левые идеалы: это матрицы, у которых какое-то подмножество столбцов нулевое, а правые: у которых какое-то подмножество строк нулевое.

[kp9r4d]

Задача 1.14
Зафиксировав базис в $V$ мы зафиксируем его и в $V \oplus V$. После чего, воспользовавшись определением определителя через перестановки, можно заключить, что определитель «большой» матрицы размера $2n$, действующая на $V\oplus V$ равен $\det(A) \det(C)$.

Нужны подсказки по Задаче 1.12:
Если $B$ билинейная форма, для которой $B(x,y)=0$ титтк $B(y,x)=0$ то $B$ - симметрическая или кососимметрическая форма.

[Xaositect]

1.31 верно, 1.32 неверно. Например, матрицы вида $\begin{pmatrix} a & -a \\ b & -b \end{pmatrix}$ образуют левый идеал.

kp9r4d в сообщении #932293 писал(а):

Нужны подсказки по Задаче 1.12:
Если $B$ билинейная форма, для которой $B(x,y)=0$ титтк $B(y,x)=0$ то $B$ - симметрическая или кососимметрическая форма.

Рассмотрите линейные функционалы $B(x, \cdot)$ и $B(\cdot, x)$

[kp9r4d]

Xaositect
Умножение матрицы на матрицу слева это, по сути, замена набора строк (векторов) матрицы на набор новых векторов, каждый из которых является линейной комбинацией набора старых векторов. Поэтому, множество строк всех матриц из данного левого идеала должно образовывать подпространство. С другой стороны, по каждому подпространству можно построить левый идеал, взяв множество всевозможных матриц, у которых по строкам записаны всевозможные вектора из данного подпространства. С правыми идеалами ситуация аналогична, только «строки» нужно заменить на «столбцы».

[kp9r4d]

Задача 1.30
Построить вложение аддитивной группы $\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}$ в мультипликативную группу $GL(2n,\mathbb{R})$.
Решение
Достаточно построить вложение в мультипликативную группу $\mathbb{C}^n$ (она вкладывается в $GL(2n,\mathbb{R})$ довольно просто: координате $z_j=x_j + i y_j$ сопоставляется блочная матрица $\begin{pmatrix} x_j & y_j \\ -y_j & x_j \end{pmatrix}$, которые, затем, размещаются в большой матрице размера $2n$ по диагонали). А это сделать просто: каждый класс эквивалентности $(x_1 + k_1, x_2 +k_2, ..., x_n + k_n); k_1,...,k_n \in \mathbb{Z}; 0 \leqslant x_1,...,x_n < 1$ сопоставляем с $(e^{2 ix_1 \pi}, e^{2 ix_2 \pi}, ..., e^{2 ix_n \pi})$.

-- 19.11.2014, 16:31 --

Задача 1.26
Пусть $A$ и $B$ линейные операторы, причем $A = AB - BA$. Тогда $A$ - нильпотент.
Решение
$\operatorname{tr} A^k = \operatorname{tr} (AB - BA)^k = \operatorname{tr} (AB - AB)^k = 0$, отсюда следует, что $A$ - нильпотент.

-- 19.11.2014, 16:45 --

Задача 1.27
Доказать, что если $A,B,C$ линейные операторы, причём $C = AB - BA$, и $AC = CA$, то $C$ нильпотент.
Решение
$\operatorname{tr} C^k = \operatorname{tr} (AB - BA)^k = \operatorname{tr} (AB - AB)^k = 0$, отсюда следует, что $C$ - нильпотент. Зачем условие коммутирования $A$ и $C$ не знаю, но ошибки в упор не вижу.

[kp9r4d]

Задачи 26 и 27 неправильные, ошибку уже понял.

-- 19.11.2014, 17:43 --

Задача 1.26
Пусть $A$ и $B$ линейные операторы, причем $A = AB - BA$. Тогда $A$ - нильпотент.
Решение
$A = AB - BA$
$A^{k+1} = A^k A B - A^k B A$
$\operatorname{tr}A^{k+1} = \operatorname{tr} (A^{k+1}) (B) - \operatorname{tr} (A^k) (B A)$
$\operatorname{tr}A^{k+1} = \operatorname{tr} (B) (A^{k+1}) - \operatorname{tr} (B A) (A^k)$
$\operatorname{tr}A^{k+1} = \operatorname{tr} B A^{k+1} - \operatorname{tr} B A^{k+1}$
$\operatorname{tr}A^{k+1} = 0$
для любого $k$. Отсюда следует, что $A$ нильпотент.

-- 19.11.2014, 17:49 --

Задача 1.27
Доказать, что если $A,B,C$ линейные операторы, причём $C = AB - BA$, и $AC = CA$, то $C$ нильпотент.
Решение
$C = AB - BA$
$C^{k+1} = C^k A B - C^k B A$
$\operatorname{tr}C^{k+1} = \operatorname{tr}C^k A B -\operatorname{tr} (C^k B) (A)$
$\operatorname{tr}C^{k+1} = \operatorname{tr} A C^k B -\operatorname{tr} A C^k B$
$\operatorname{tr}C^{k+1} = 0$
для любого $k$.

[Xaositect]

kp9r4d в сообщении #933346 писал(а):

Умножение матрицы на матрицу слева это, по сути, замена набора строк (векторов) матрицы на набор новых векторов, каждый из которых является линейной комбинацией набора старых векторов. Поэтому, множество строк всех матриц из данного левого идеала должно образовывать подпространство. С другой стороны, по каждому подпространству можно построить левый идеал, взяв множество всевозможных матриц, у которых по строкам записаны всевозможные вектора из данного подпространства. С правыми идеалами ситуация аналогична, только «строки» нужно заменить на «столбцы».

Верно.

1.30, 26, 27 - верно.

[kp9r4d]

Xaositect
Спасибо вам ещё раз за то, что проверяете.

Задача 1.33
Для любого оператора $A$ существует оператор $B$, такой что $ABA=A$.
Решение
Перейдём в жорданов базис оператора $A$, после этого можно работать с каждой жордановой клеткой отдельно. Обратимые клетки неинтересны: можно взять просто обратную матрицу, значит, задачу осталось решить лишь для матрицы $L$, у которой все элементы нулевые, кроме субдиагональных, которые единичные (т.е. $a_{12}=a_{23}=...=a_{k-1,k}=1$). А для таких матриц верно, что $L L^{T} L = L$ (проверяется непосредственной выкладкой или по индукции).

[Xaositect]

Верно. Но по-моему, жорданова форма здесь - из пушки по воробьям.

[kp9r4d]

Xaositect
А как можно проще? Для обратимых $A$ задача очевидна, а для необратимых, может можно как-то с ядром базис согласовать, тогда у матрицы первые несколько столбцов будут нулевые. А дальше даже и не знаю.

[kp9r4d]

Задаче 1.12:
Если $B$ билинейная форма, для которой $B(x,y)=0$ титтк $B(y,x)=0$ то $B$ - симметрическая или кососимметрическая форма.
Решение
Рассмотрим функционалы $A : x \mapsto B(x,\cdot)$, $A^T : x \mapsto B(\cdot, x)$ из пространства векторов в пространства ковекторов. Как легко заметить, их матрицы получаются из друг друга транспонированием. Теперь, в новых терминах, надо доказать, что $A = A^T$ или $A=-A^T$ если для любых $v,x \in V$ верно, что $ A(v)(x)=0 \leftrightarrow A^T(v)(x)=0$. Если $A$ диагональна, то утверждение очевидно, в дальнейшем будем считать, что $A$ не диагональна.
Докажем что $A = \lambda A^T$ для некоторого $\lambda$. Рассмотрим вектор, на котором это не так, пусть это вектор $v$. Рассмотрим ковекторы $ A(v), A^T(v)$, так как они линейно независимы то это значит, что $\operatorname{rk} (A(v),A^T(v)) = 2$ значит, что система $A(v)(x)=1, A^T(v)(x)=0$ имеет решение, значит, что существует вектор $x_0$, на котором $A(v)(x_0)=1$ но $A^T(v)(x_0)=0$, что противоречит условию.
Итак, пусть $A = \lambda A^T$, рассмотрим любой ненулевой, недиагональный элемент $a_{ij}$ матрицы $A$ для него выполнено:
$a_{ij}=\lambda a_{ji}$
$a_{ji}=\lambda a_{ij}$
подставляя второе в первое получим
$a_{ij}=\lambda^2 a_{ij}$.
$\lambda^2 = 1$.
Откуда $\lambda = \pm 1$.