[Линейная алгебра] Прошу проверить решения

[kp9r4d]

Листочек должен быть добит!

Задача 1.35
Докажите, что норма порождена некоторым произведением титтк выполнено $|x-y|^2 + |x+y|^2 = 2|x|^2 + 2|y|^2$
Решение
1) В одну сторону очевидно проверить (если норма порождена скалярным произведением, то это выполняется). Просто расписав по полилинейности.
2) Предположим это выполняется. Докажем, что $(x,y) = \frac{|x+y|^2 - |x|^2 - |y|^2}{2}$ требуемое скалярное произведение. Симметричность, и невырожденность очевидны, то что оно порождает нашу норму, так же очевидно, осталось доказать только линейность.

$$\frac{|x_1+x_2+y|^2 - |x_1+x_2|^2 -|y|^2}{2} = \frac{|x_1+y|^2 - |x_1|^2 -|y|^2}{2} + \frac{|x_2+y|^2 - |x_2|^2 -|y|^2}{2}$$

$$2|x_1+x_2|^2 + 2|x_1+y|^2 + 2|x_2+y|^2 = 2|x_1+x_2+y|^2 + 2|x_1|^2 + 2|x_2|^2 + 2|y|^2$$

$$2|x_1+x_2|^2 + |x_1+x_2+2y|^2 + |x_1-x_2|^2 = (2|x_1+x_2+y|^2 + 2|y|^2) + (2|x_1|^2 + 2|x_2|^2)$$

$$2|x_1+x_2|^2 + |x_1+x_2+2y|^2 + |x_1-x_2|^2 = (|x_1+x_2+2y|^2 + |x_1+x_2|^2) + (|x_1+x_2|^2 + |x_1 - x_2|^2)$$

Если кто-то проверит, то напишите об этом, пожалуйста.

[AGu]

Ошибок не вижу. Вижу только очередную небольшую недокрученность. Нужно пару слов сказать, откуда возникает однородность нашего «скалярного произведения». (Обоснована ведь не линейность, а только аддитивность.) А еще, если это предусмотрено контекстом, нужно рассмотреть случай поля комплексных чисел. (В комплексном случае будет другая формула.)

P.S. Доказываемый факт называется теоремой фон Неймана — Йордана.

[kp9r4d]

AGu
Верное замечание! В самом начале темы оговорено "основное поле считать $\mathbb{R}$, если на нём задана евклидова структура". Во всякие эрмитовы штуки я не углублялся вообще, они пока что мне не нужны. Что до однородности: любая норма в конечномерном векторном пространстве непрерывна, а аддитивная непрерывная функция - однородна.
Спасибо за проверку!

[AGu]

kp9r4d в сообщении #1008244 писал(а):

Что до однородности: любая норма в конечномерном векторном пространстве непрерывна, а аддитивная непрерывная функция - однородна.

Маладца!

Только слово «конечномерном» сюда проникло явно по недоразумению. Доказываемый факт, как и его доказательство, справедливы для любых нормированных пространств. Любая норма «непрерывна относительно себя», и этого нам хватает.

[kp9r4d]

AGu в сообщении #1008247 писал(а):

Любая норма «непрерывна относительно себя», и этого нам хватает.

Точно ведь! Почему-то думал всегда, что нужна именно непрерывность относительно стандартной "квадратный корень из суммы квадратов координат".

[kp9r4d]

Задача 1.37
Докажите что множество $2\times 2$ матриц с вещественными элементами и определителем 1 гомеоморфно $S^1 \times \mathbb{R}^2$.
Решение
Следует из разложения Ивасавы.

[kp9r4d]

Читал тут умные книжки и вспомнил об этой теме, нужно же дорешать листочек!
Задача 1.42
Доказать, что определитель общего вида, рассмотренный как многочлен
от своих элементов, принятых за неизвестные, не разлагается на два множителя, каж-
дый из которых есть многочлен ненулевой степени.
Решение
Под $\mathbb{P}V$ понимается везде множество всех одномерных подпространств $V$.
Рассмотрим пространство $\operatorname{PHom}(V) \times \mathbb{P}V$ ($\operatorname{PHom}(V)$ пространство всех операторов $V \to V$ с точностью до константы, т.е. операторы $A$ и $\lambda A$ считаются равными) - это проективное многообразие. Рассмотрим в нём множество $X = \{(f,\ell) | \ell \subset \ker f\}$, неприводимость $X$ эквивалентно утверждению задачи, действительно, ведь если $X$ неприводимо то проекция на первую координату будет тоже неприводимо и будет в точности совпадать с множеством всех вырожденных операторов, а значит и с множеством определяемым уравнением $\det A = 0$. Далее, рассмотрим каноническую проекцию $\pi : X \to \mathbb{P}V$, каждый слой $\pi^{-1}(\ell)$ канонически изоморфен $\operatorname{PHom}(V / \ell, V)$ а значит, во-первых неприводим, во-вторых все они имеют одинаковую размерность. Но тогда и $X$ неприводимо. Что и требовалось.

Как всегда, если у кого есть желание проверить - буду признателен. :3

[vpb]

Таки да, верно, только это из пушки по воробьям, по моему. А что Вы за умную книжку читаете, если не секрет?

[kp9r4d]

(Оффтоп)

vpb Шафаревич "Введение в алгебраическую геометрию". Относительно меня "умную", разумеется ^^