2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по стереометрии
Сообщение12.11.2014, 07:00 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Есть такая стандартная задачка. В основании призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ лежит равнобедренный треугольник. $AB=AC, \; \angle ABC = \beta, \; BC = a$. Точка $A_1$ равноудалена от сторон нижнего основания. Рёбра наклонены к плоскости $ABC$ под углом $\gamma$. На рёбрах $B B_1$ и $A A_1$ отмечены точки $K$ и $N$, причём $B_1 K : KB = 1 : 3$, $A_1 N : NA = 3 : 4$. Найти объёмы тел, на которые рассекает призму плоскость $KNC_1$.

Про основание знаем всё. Ясно, что $A_1$ проецируется в центр вписанной в основание окружности. Из этого и угла наклона ребра находится высота призмы. Так что про призму тоже всё знаем. А как малой кровью найти объём одного из кусков, на которые рассекается призма, неясно.

Маленький кусок -- пирамида $C_1 A_1 B_1 N K$ -- пирамида общего положения -- плохо.

Большой кусок -- не пойми что. Можно продолжить $C_1 K$ до пересечения с прямой $C A$ (пусть точка пересечения $Q$) и так же поступить с $C_1 N$ и $C B$ (точка пересечения $P$) и рассмотреть пирамиду $C_1 Q P$, содержащую большой кусок, надеясь, что посчитать объём лишней части пирамиды -- вне призмы -- легко посчитается. Но нет, там тоже ничего хорошего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение12.11.2014, 09:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Можно рассмотреть похожую задачу на плоскости: прямая делит две параллельных стороны прямоугольника (параллелограмма) в отношениях $a:b$ и $c:d$. В каком отношении она делит площадь прямоугольника? А если тут применить эту задачу? Призму можно на бочок положить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение12.11.2014, 10:58 


01/12/11

1047
Положите призму на грань $ABB_1A_1$ и рассмотрите получившиеся пирамиды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение12.11.2014, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
vanger в сообщении #929965 писал(а):
Найти объёмы тел, на которые рассекает призму плоскость $KNC_1$.
Сложите объем пирамид $ABCK, ABCN, ABCC_1$
(Если точку $K$ сдвинуть вверх по ребру на 1 см, а точку $N$ сдвинуть вниз по ребру на 1 см, то искомые объемы не изменятся.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение12.11.2014, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
vanger в сообщении #929965 писал(а):
А как малой кровью найти объём одного из кусков, на которые рассекается призма, неясно.

Через векторы проще всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение12.11.2014, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Согласна с gris. Последняя часть задачи аффинная, так что форма и размеры призмы не имеют значения. "Верхняя" часть (которая пирамида) имеет объем $\frac13 S_1\cdot h$ и составляет от всей призмы долю $\frac23\cdot\frac{S_1}{S}$. Здесь $S_1$ - площадь трапеции $A_1NKB_1$, а $S$ - площадь грани $AA_1B_1B$. Высота проводится к этой грани из вершины $C_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение13.11.2014, 02:26 
Аватара пользователя


04/12/10
115
gris в сообщении #929976 писал(а):
Можно рассмотреть похожую задачу на плоскости: прямая делит две параллельных стороны прямоугольника (параллелограмма) в отношениях $a:b$ и $c:d$. В каком отношении она делит площадь прямоугольника? А если тут применить эту задачу? Призму можно на бочок положить.

Да, точно. Спасибо! Это наблюдение облегчает нахождение площади $A_1 B_1 N K$, сводя к вычислению параллелограмма. Высота же, опущенная из $C_1$ без труда находится из высоты в треугольнике $A_1 B_1 C_1$ и угла между основанием и боковой гранью, который тоже легко ищется.

TOTAL в сообщении #930010 писал(а):
vanger в сообщении #929965 писал(а):
Найти объёмы тел, на которые рассекает призму плоскость $KNC_1$.
Сложите объем пирамид $ABCK, ABCN, ABCC_1$
(Если точку $K$ сдвинуть вверх по ребру на 1 см, а точку $N$ сдвинуть вниз по ребру на 1 см, то искомые объемы не изменятся.)

И что будет, если сложить? У них же чёрт знает какое пересечение. Идея про передвижение точки понятна.

Munin в сообщении #930030 писал(а):
vanger в сообщении #929965 писал(а):
А как малой кровью найти объём одного из кусков, на которые рассекается призма, неясно.

Через векторы проще всего.

С помощью смешанного произведения посчитать объёмы тетраэдров $C_1 A_1 B_1 N$ и $C_1 A_1 K N$ (или преобразовать четырёхугольник к параллелограмму, с помощью идеи выше, и посчитать лишь для одного)?

В первую очередь хотелось бескоординатного решения. Но это, конечно, мысль, и, даже, наиболее удобно, на мой взгляд.

provincialka в сообщении #930082 писал(а):
Согласна с gris. Последняя часть задачи аффинная, так что форма и размеры призмы не имеют значения.$[/math]

Можно чуть подробнее раскрыть тему про аффинность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение13.11.2014, 06:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
vanger в сообщении #930345 писал(а):
TOTAL в сообщении #930010 писал(а):
Сложите объем пирамид $ABCK, ABCN, ABCC_1$
(Если точку $K$ сдвинуть вверх по ребру на 1 см, а точку $N$ сдвинуть вниз по ребру на 1 см, то искомые объемы не изменятся.)
И что будет, если сложить? У них же чёрт знает какое пересечение. Идея про передвижение точки понятна.
Если идея про передвижение точек понятна, то две точки опускайте по своим ребрам на основание призмы, а оставшуюся точку двигайте вверх по своему ребру. Нижняя часть превратится в пирамиду (объем которой равен сумме объемов трех указанных пирамид).

Площадь трапеции равна среднему арифметическому параллельных сторон, умноженному на длину поперечного сечения.

И в этой задаче объем нижней фигуры равен среднему арифметическому параллельных ребер (трех боковых), умноженному на площадь поперечного (ребрам) сечения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение13.11.2014, 08:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
vanger в сообщении #930345 писал(а):
С помощью смешанного произведения посчитать объёмы тетраэдров

Нет, векторы - на этапе вычисления, где какая плоскость какую прямую пересекает. Они для этого очень удобны.

Отношение объёмов, кстати, векторы тоже могут подсказать безо всяких координат, потому что сводят задачу к аффинной. Вот конкретные объёмы - через векторы считать не много смысла, конечно же. Тут проще "основание на высоту".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение13.11.2014, 09:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
vanger в сообщении #930345 писал(а):
Можно чуть подробнее раскрыть тему про аффинность?
К аффинным относятся задачи, связанные с параллельностью прямых и плоскостей, а также с делением в некотором отношении отрезков, площадей и объемов. В интернете есть информация, например, мне понравилась эта. Если задача аффинная, можно, применив аффинное преобразование, сделать треугольник правильным или прямоугольным, а призму прямой. Одна неприятность: до этого надо доказать все свойства аффинных преобразований.

Но можно поступить и по-другому: зная, что задача аффинная, выбирать такие же методы решения. Например, искать не абсолютные величины объемов, площадей, а только их отношения.
Если считать основанием грань $AA_1B_1B$ и ее части, то высота $H$ и пирамиды и всей призмы совпадают. Так зачем же нам знать, чему она равна?
Объем пирамиды равен $\frac13S_1H$, призмы - $\frac12SH$, так что их отношение равно $\frac23\frac{S_1}{S}$

Последнее отношение находится аналогичными соображениями. Там получаются площади трапеции и параллелограмма с общей высотой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение13.11.2014, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
provincialka в сообщении #930380 писал(а):
К аффинным относятся задачи, связанные с параллельностью прямых и плоскостей, а также с делением в некотором отношении отрезков, площадей и объемов.

Я скажу проще: это задачи, в которых условие не изменится, если весь чертёж "перекосить" операцией сдвига. Соответственно, и рассуждения, и решение тоже от этого не изменятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение13.11.2014, 17:33 


01/12/11

1047
Наглядно познакомиться с аффинными преобразованиями можно в графическом редакторе, если он допускает просмотр объёкта с любой точки. Например, в Автокаде есть команда 3dorbit, вызываемая "Вид -3D Орбита".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по стереометрии
Сообщение14.11.2014, 02:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ещё проще можно с ними познакомиться, если взять обычный графический редактор, и "спараллелограммить" прямоугольник. Разумеется, такие преобразования, как поворот, сдвиг, масштабирование, - тоже аффинные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group