2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение09.11.2014, 16:22 


22/12/11
9
Задача: Разложить в ряд Тейлора $ x^{-1/4}  $ по степеням $x-4$ и найти область сходимости полученного ряда.

Не могу уловить закономерность, когда вычисляю производную. wolramalpha говорит что там должен быть биномиальный коэффициент http://www.wolframalpha.com/input/?i=series+x%5E%28-1%2F4%29+x%3D4, но я не могу понять как это обосновать для преподавателя и как потом определить область сходимости. Если попробовать проверить по признаку д'Аламбера, то получим примерно следующее:

$$\lim_{x\to \infty} \frac{2^{-2n-2-1/2}(x-4)^{n+1}\binom{-1/4}{n+1}}{2^{-2n-1/2}(x-4)^{n}\binom{-1/4}{n}}$$

Как работать с дробным биномиальным коэффициентом я не представляю, у нас его не преподавали.

Подскажите, что можно сделать с этой задачей? Может есть другой (не в лоб) способ решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение09.11.2014, 16:27 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
endemic
Сделайте замену $t=x-4$, чтобы переместить точку в ноль и раскладывайте по степеням $t$, пользуясь стандартными разложениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение09.11.2014, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Но дробный биномиальный коэффициент там останется. Любой другой ответ будет либо такой же, либо неправильный. Вы какие предпочитаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение09.11.2014, 18:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
endemic в сообщении #928757 писал(а):
Как работать с дробным биномиальным коэффициентом я не представляю,

Можете работать как обычно: $C_{\alpha}^n=\frac{\alpha!}{n!(\alpha-n)!}$. То, что $\alpha$ дробная, признаку Даламбера ничуть не помеха. Если же Вас всё-таки интересует, что в точности под этим понимается -- выпишите сомножители, которые остаются при формальном сокращении дроби $\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}$; это ровно оно и выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение09.11.2014, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Собственно, разложение для $(1+x)^{m}$ есть во всех учебниках/задачниках по матану. В чем проблема?
Тут, скорее, надо как-то от $-4$ освободиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение09.11.2014, 18:46 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
ИСН

(Оффтоп)

Это конечно, но в большинстве учебников для первого курса обходятся без введения этого обозначения. ) Только и всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение09.11.2014, 18:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #928841 писал(а):
Тут, скорее, надо как-то от $-4$ освободиться.

От неё избавляться нечего; надо от плюс четвёрки.

provincialka в сообщении #928841 писал(а):
разложение для $(1+x)^{m}$ есть во всех учебниках/задачниках по матану

Не думаю; в большинстве всё-таки для $(1+x)^{\alpha}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение09.11.2014, 20:12 


22/12/11
9
Попробовал сделать замену $x-4=4t$ отсюда получил $x=4t+4 & t=\frac{x-4}{4}$. Отсюда $$x^{-1/4}=(4t+4)^{-1/4}=4^{-1/4}(t+1)^{-1/4}$$ Получили типичное биномиальное разложение: $$\frac{1}{\sqrt{2}}(t+1)^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sum^{\infty}_{n=1}\binom{-1/4}{n}t^n=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sum^{\infty}_{n=1}\binom{-1/4}{n}2^{-2n}(x-4)^n$$
Дальше можно взять область сходимости из определения биномиального разложения с учетом преобразований к $t$ или применить следующую магию:
$$ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \Rightarrow \frac{\binom{a}{n+1}}{\binom{a}{n}}=\frac{\frac{a!}{(n+1)!(n-a-1)!}}{\frac{a!}{n!(a-n)!}}=\frac{n!(a-n-1)!(a-n)}{n!(n+1)(a-n-1)!}=\frac{a-n}{n+1} $$
Полученные ряд область сходимости аналогичны найденным вольфрамальфа.

Всем спасибо за помощь

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение09.11.2014, 22:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
endemic в сообщении #928907 писал(а):
$x-4=4t$ отсюда получил $x=4t+4 & t=\frac{x-4}{4}$

Я бы сказал, что это оригинально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение10.11.2014, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Надеюсь, это просто опечатка, $, t $ перед последним равенством пропало. Меня больше смутило, как это в факториалах все так
сильно сократилось...

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение10.11.2014, 01:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #929044 писал(а):
Надеюсь, это просто опечатка,

естественно, опечатка, но какая классная! (учитывая, что кратная)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)
Сообщение10.11.2014, 01:10 


20/03/14
12041

(Оффтоп)

Там просто пробел по замыслу полагался между двумя равенствами )

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group