2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ряд Дирихле.
Сообщение07.11.2014, 16:05 


17/05/13
149
Дано
$\zeta_a(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$ и $\zeta_b(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n^s}$
Найти $\zeta_c(s)=\zeta_a(\zeta_b(s))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Дирихле.
Сообщение07.11.2014, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Ряда Дирихле может и вообще не быть. Скажем, если взять классическую дзета-функцию Римана $\zeta(s)$, то очевидно, что $\zeta(\zeta(s))$ нигде в ряд Дирихле не раскладывается (хотя бы потому что $\lim\limits_{s\to+\infty}\zeta(\zeta(s))=+\infty$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Дирихле.
Сообщение07.11.2014, 17:14 


17/05/13
149
RIP в сообщении #927856 писал(а):
Ряда Дирихле может и вообще не быть.

Пока что только формально разложить надо. А ограничения потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Дирихле.
Сообщение07.11.2014, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Достаточно разобраться со случаем $\zeta_a(s)=n_0^{-s}$. Тогда
$$n_0^{-\sum_{n=1}^\infty b_nn^{-s}}=n_0^{-b_1}\prod_{n=2}^\infty\exp\left(-b_nn^{-s}\ln n_0\right)=n_0^{-b_1}\prod_{n=2}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{(-b_n\ln n_0)^k}{k!(n^k)^s}.$$
Произведение сходится, но вряд ли для коэффициентов можно получить какую-нибудь красивую формулу без кратных сумм.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group