Преобразование и вычисление рациональных выражений

[Tarsik]

Известно, что $ X+\frac{1}{X}=7$. Нужно вычислить :
А) $X^2+\frac{1}{X^2}$
Б) $X^3+\frac{1}{X^3}$.
Сперва я поделил $X^2+\frac{1}{X^2}$ на $ X+\frac{1}{X}$ и получил $\frac {X^4+1}{X(X^2+1)}$. Потом я вычел $ X+\frac{1}{X}$ и получил ${-2}\frac{X}{X^2+1}$ что значит $\frac{-2}{7}$.
Для вычисления $X^3+\frac{1}{X^3}$ я сначала поделил ето выражение на $ X+\frac{1}{X}$. От результата исчислений я вычел $X^2+\frac{1}{X^2}$ и получил $-1$.
Подскажите правильно ли я сделал и нельзя ли решить ето задание по-другому.
Также нужно доказать, что при $ X+\frac{1}{X}$-целое, число $ X^n+\frac{1}{X^n}$ также является целым.

[Someone]

Tarsik писал(а):

Известно, что $ X+\frac{1}{X}=7$. Нужно вычислить:
А) $X^2+\frac{1}{X^2}$
Б) $X^3+\frac{1}{X^3}$.

Пусть $A=X+\frac 1X$. Попробуйте вычислить $A^2$, $A^3$ и сравнить с тем, что Вам требуется.

[gefest_md]

$a=X, b=\frac{1}{X}, a+b=7$
$X^2+\frac{1}{X^2}=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=7^2-2=47$
$X^3+\frac{1}{X^3}=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)(a^2+b^2-ab)=$
$=(a+b)(47-ab)=7(47-1)=322$
Вторую часть вопроса не знаю. Не проходил ещё.

[Brukvalub]

Tarsik писал(а):

акже нужно доказать, что при $ X+\frac{1}{X}$-целое, число $ X^n+\frac{1}{X^n}$ также является целым.

gefest_md писал(а):

Вторую часть вопроса не знаю. Не проходил ещё.

Попробуйте доказать это методом математической индукции, перемножая $ X+\frac{1}{X}=7$ и $ X^n+\frac{1}{X^n}$ .

[Tarsik]

Спасибо всем за помощь.