2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 00:53 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

В ходе вычисления поверхностного интеграла пришел к интегралу $$ |a| \cdot \iint\limits_{D} \left ( \frac{x+y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}} + 1 \right ) dxdy$$

где $D$ - круг $x^2+y^2 \leqslant a^2$.

Я заметил, что интеграл от первого слагаемого равен нулю, но забыл формулировку свойства, по которому можно сразу сказать, что он равен нулю, подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Их там два: с иксом и с игреком. Про нечетность вспомните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:04 


29/08/11
1759
provincialka

Функция $$f(x,y) = \frac{x+y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}} $$ нечетна по обеим переменным, а область $D$ симметрична относительно обеих координатных осей, следовательно, $$ \iint\limits_{D} \frac{x+y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy = 0$$

Как-то так? :|

-- 05.11.2014, 02:05 --

Это по аналогии с тем, что интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Допустим, я знаю, что такое "функция просто нечётна": это когда $f(-x)=-f(x)$. Но что такое "нечетна по обеим переменным"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Limit79 Ну, почти. Что значит "нечетна по обеим переменным". Лучше все-таки рассмотреть отдельно слагаемое с $x$, отдельно с $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:14 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
С разрешения автора темы, я задам вопрос для самообразования: а есть понятие чётности и нечётности для функции двух переменных / нескольких переменных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Есть, например, "четность по совокупности": $f(-x,-y)=f(x,y)$. Такое упоминается, скажем, при подборе замены в интеграле от тригонометрической функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:21 


29/08/11
1759
ИСН
Это когда $f(-x,-y) = - f(x,y)$.

provincialka
$$ \iint\limits_{D} \frac{x+y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy = \iint\limits_{D} \frac{x}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy + \iint\limits_{D} \frac{y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy$$

Функции $f(x,y) = \frac{x}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}$ и $g(x,y) = \frac{y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}$ нечетны по переменным $x$ и $y$ соответственно.

Область $D$ симметрична относительно обеих координатных осей, соответственно $$\iint\limits_{D} \frac{x}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy = 0 $$ и $$\iint\limits_{D} \frac{y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy = 0 $$

Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Limit79, так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:25 


29/08/11
1759
provincialka
Спасибо.

«в силу четности функции по обеим переменным» в интернете видел, например, здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Limit79 в сообщении #926870 писал(а):
«в силу четности функции по обеим переменным» в интернете видел, например, здесь.

Там (и вообще везде) оно имеет другой смысл: чётность по каждой из переменных отдельно, а не в совокупности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:35 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
ИСН, то есть по сути, речь идёт о чётности и нечётности функции одной переменной, которая образуется в сечении графика функции двух переменных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Shtorm, можно определить разные варианты, только им не дают названий. Нет необходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Shtorm, по сути да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение05.11.2014, 01:42 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
provincialka, ИСН, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group