2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 21:52 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
_genius_ в сообщении #926149 писал(а):
Ну та оценка, что я вывел, к решению не приводит. Если дальше расписать:
$e^{\delta+1}<e^{\ln(\varepsilon)}=\varepsilon$

И не может привести, ибо $\varepsilon$ сколь угодно мало, а левая часть неравенства заведомо больше $e$.
Графически, грю же я Вам. Стройте график $y=e^x-1$, смотрите на него... лучше всего линейные оценки. $y=kx$. Ну вот и постройте прямую, чтобы на всем Вашем промежутке (из условия) график лежал ниже такой прямой. Вроде несложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 21:56 


25/02/11
123
Тут далеко не один бит. Возможных оценок великое множество.
Цитата:
Ваша оценка плоха тем, что не стремится к нулю. Надо чтобы стремилась.

Полностью с Вами согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Нет, тут один бит: информация о том, что функция "хорошая" и оценка есть. Больше никакой информации, ниспосланной свыше, в топике пока не появлялось. Так-то да, оценок великое множество, но их не надо угадывать. Их надо искать. Даже не "их" - одну. Любую.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:07 


25/02/11
123
Цитата:
Стройте график $y=e^x-1$

Скорее $y=|e^x-1|$, причем $x\in(-1,1)$, т.к. $x=x''-x'$ где $x'',x'\in(0,1)$.
Вот он, этот график:
Изображение
Линейная $y = kx + b$ при $b = 0$ очевидно не подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:14 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
_genius_ в сообщении #926171 писал(а):
Скорее $y=|e^x-1|$, причем $x\in(-1,1)$,

Значица так. Слушайте старших. :mrgreen:
Вам нужен именно тот график, что я написала выше, и только при положительных значениях аргумента, изменяющегося на Вашей области. (Можно даже и сузить ее.) Осознайте, почему этого достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:19 


25/02/11
123
Цитата:
Осознайте, почему этого достаточно.

Потому что в окрестности единицы она быстрее всего растет.
Все понял кажись:
$e\cdot|e^{x''-x'}-1|<6|x''-x'|=\varepsilon$
$\delta=\frac{\varepsilon}{6}$

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:22 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Вам окрестность единицы как раз должна быть фиолетово, это уже для перестраховки, чтобы стопудов оценка построилась, у Вас при малых эпсилон малое изменение аргумента должно получаться (равномерно малое), так что волновать Вас должна окрестность нуля, на деле.

А вот положительность как себе испросить? шоб була? Вернее не так - почему для положительных - оценки достаточно?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:54 


25/02/11
123
Otta
В общем контрпримеров (таких $\delta$ для которых при $|x''-x'|<\delta$: $|e^{x''}-e^{x'}|\geqslant 6\cdot\delta$) найти не удалось ни в окрестности 0, ни в окрестности 1. Значит скорее всего решение верное. Спасибо что довели меня до нужной мысли :-) .
Цитата:
почему для положительных - оценки достаточно?

Потому что модуль, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:12 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
$e^x-e^y$ напоминает одну формулу с комплексными числами. Не поможет?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:19 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
_genius_ в сообщении #926207 писал(а):
Потому что модуль, да?

Нет, потому что выражение $|e^{x'}-e^{x''}|$ симметрично относительно $x',\,x''$, а значит, за знак модуля (Ваше первое действие) можно вынести меньший из них.

Шестерка, конечно, вызывает вопросы, ну да ладно. (Эпсилон тогда не получится брать произвольным, только меньшими чего-то там. А чего - это считать надо. Но это и не существенно. Для меня. И для существа вопроса. А как к этому отнесется Ваш преподаватель, я не знаю. :) )

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:33 


25/02/11
123
Otta
Цитата:
выражение $|e^{x'}-e^{x''}|$ симметрично относительно $x',\,x''$

Не понял, как это, симметрично относительно двух точек? Вы имеете в виду что их можно поменять местами?
Цитата:
Эпсилон тогда не получится брать произвольным, только меньшими чего-то там

А это ещё почему? На данном отрезке максимальное $\varepsilon=e-1$, при этом $\delta=1$ уже достаточно, а у меня оно даже с запасом получается: $\delta = 0.2864$.
Так я не для преподавателя. Все на добровольных началах. Я совсем другие вещи изучаю. Математику решил нагнать чтобы понять физику, которую, возможно, придется изучать в будущем.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Если Вы в этом выражении $x'$ и $x''$ поменяете местами, его значение изменится? Нет. Это и называется симметричностью. И если у Вас аргумент у одной экспоненты меньше, Вам ничто не мешает их переставить в нужном порядке. И вынести нужную.
_genius_ в сообщении #926226 писал(а):
А это ещё почему? На данном отрезке максимальное $\varepsilon=e-1$,

Да, верно. Это я запамятовала, что оно у Вас на единицу опущено.
Но тогда можно так и писать $\ldots<e(e-1)\delta=\varepsilon$. Математики они такие странные, им почему-то так понятней. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:50 


25/02/11
123
Otta
А какая разница какую вынести?

Да-да, я так увлекся подбором функции, что забыл про этот банальный ход, который уже применил в самом начале ($e^x < e^1$ если $x<1$).

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:52 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
_genius_ в сообщении #926235 писал(а):
А какая разница какую вынести?

Вы хотите пользоваться Вашим неравенством? Да? Нет?
Так вот на минуточку допустив, что да, то оценку Вы строили только для положительных значений аргумента экспоненты, в роли которого выступает разность двух иксов.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение04.11.2014, 01:09 


25/02/11
123
Otta
Вы правы, но из графика видно что при отрицательных значениях аргумента эта функция растет ещё медленнее чем при положительных. Т.е. моей 6ки тем более хватило бы. Но в общем случае конечно нельзя такое забывать.

Ещё такой момент: тут прозвучало предложение, пусть оно было и не в тему, использовать Лагранжа. Если я правильно понимаю, то речь о том самом Лагранже, который утверждает что у любой функции, непрерывной на $[a,b]$ и дифференцируемой на $(a,b)$ существует $f'(\xi) = \frac{f(x'')-f(x')}{x''-x'}$.
Условия выполнены, значит мне достаточно сказать что $\delta = \frac{\varepsilon}{f'(\xi)}$. Но при этом поскольку знаменатель зависит от $\xi$, а $\xi$ зависит от $x'',x'$, надо выбрать $\xi$, дающее максимальное $f'(\xi)$ на интервале. Тогда получается что уже $\xi=1$ более чем достаточно, т.е. $\delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{e}$. Все верно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group