2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ТФКП
Сообщение02.11.2014, 04:12 


28/05/12
214
Найти все аналитические на комплексной плоскости функции $f(z)$, $z = x + iy$, для которых $ (\operatorname{Re}f(z))^2 + (\operatorname{Im}f(z))^2$ есть функция только от $x$.
Так как функция аналитическая, то для нее выполняются условия Коши-Римана:
$\operatorname{Im}f(z) = v(x,y)$
$\operatorname{Re}f(z) = u(x,y)$
$u_{x} = v_{y}$
$u_{y} = -v_{x}$
$ (u(x,y))^2 + (v(x,y))^2 = g(x)$
$2uu_{y} + 2vv_{y}=0$
$u_{x}v-v_{x}u=0$
$\frac{u(x,y)}{v(x,y)}=h(y)$
$\frac{u^2(x,y)}{v^2(x,y)}=h^2(y)$
$\frac{u^2(x,y)}{v^2(x,y)}=\operatorname{const}$
А дальше я не знаю что делать, я даже не особо понимаю какого вида ответ я должен получить.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение02.11.2014, 10:26 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Предлагаю рассмотреть функцию $\ln f(z)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение02.11.2014, 14:56 


28/05/12
214
Что то с $\frac{u^2(x,y)}{v^2(x,y)}=\operatorname{const}$ я погорячился.
Я правильно понимаю что получается $f(x,y) =g(x)e^{ih(y)}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение02.11.2014, 15:28 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Не забудьте, что должна получиться аналитическая функция. Примените условия Коши-Римана к логарифму.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение02.11.2014, 17:13 


28/05/12
214
$\ln f(z) = \frac{1}{2}\ln g(x)+i\arctg h(y)$
Условия Коши Римана:
$\frac{g'(x)}{2g(x)}=\frac{h'(y)}{1+h^2(y)}$
$\frac{g'(x)}{2g(x)}=\lambda$
$\frac{h'(y)}{1+h^2(y)}=\lambda$
$g(x)=c_1e^{2\lambda x}$
$h(y)=\tg (\lambda y + c_2)$
$f(z) = c_1e^{\lambda z+ic_2}$
Забыл корень извлечь, поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение02.11.2014, 17:39 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну и окончательно, $f(z)=ae^{\lambda z}$, $a$ - любая константа, $\lambda\in \mathbb R$. Не?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение02.11.2014, 17:41 


28/05/12
214
А, ну блин точно, очень красивый ответ получился, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group