2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 02:08 


20/12/13
139
В учебнике по теории групп представлен такой пример изоморфных рядов подгрупп:
$1 \leq \mathbb C_2 \leq \mathbb C_4 \leq \mathbb C_{12}$
и
$1 \leq \mathbb C_3 \leq \mathbb C_6 \leq \mathbb C_{12}$

Но как они могут быть изоморфными, если хотя бы $\mathbb C_2$ не изоморфна с $\mathbb C_3$

P. S. здесь $\mathbb C_n$ - группа корней уравнения $x^n-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 02:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Что такое изоморфный ряд подгрупп, во-первых?
И во-вторых, что в Вашем учебнике означает символ $\leq$ применительно к группам?

-- менее минуты назад --

У меня появилась одна гипотеза, но Вы всё-таки поясните сначала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 02:19 


20/12/13
139
Изоморфные ряды это такие (суб)нормальные ряды, которые имеют одинаковое количество секций и фактор-группы у соответствующих секций изоморфны. В данном случае первые фактор-группы в обоих рядах
$\mathbb C_2/1=\mathbb C_2$ и $\mathbb C_3/1=\mathbb C_3$

символ - просто подгруппы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 02:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Хм. А что же они... Ну то есть да, подгруппы такие есть, всё как написано. Ну, вот два ряда. Ну, секций вроде поровну. :roll: :roll:
Может, имелось в виду, что они друг другу изоморфны задом наперёд? :lol: Нет, это хрень какая-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 11:34 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Felt в сообщении #924958 писал(а):
В учебнике по теории групп представлен такой пример изоморфных рядов подгрупп:
$1 \leq \mathbb C_2 \leq \mathbb C_4 \leq \mathbb C_{12}$
и
$1 \leq \mathbb C_3 \leq \mathbb C_6 \leq \mathbb C_{12}$

Но как они могут быть изоморфными, если хотя бы $\mathbb C_2$ не изоморфна с $\mathbb C_3$
Внимательнее читайте определение изоморфных рядов.
Там не сказано, что изоморфные факторы должны стоять на одних и тех же местах. Иначе ряды бы просто совпадали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 13:38 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
VAL в сообщении #925019 писал(а):
Иначе ряды бы просто совпадали.

Чего это вдруг?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 13:49 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
AV_77 в сообщении #925053 писал(а):
VAL в сообщении #925019 писал(а):
Иначе ряды бы просто совпадали.

Чего это вдруг?

Ну, по крайней мере, для $\mathbb C_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 17:02 


20/12/13
139
Спасибо, прочитал опредление в другом месте - в первом учебнике оно было действительно невнятным и нестрогим и понять его можно было двояко

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 21:34 


20/12/13
139
Всё равно мне остается не совсем понятным определение изоморфности рядов... Не могли бы его сюда написать? С разбором моего примера двух изоморфных рядов, какие фактор-группы изоморфны каким

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 21:43 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Felt в сообщении #925174 писал(а):
С разбором моего примера двух изоморфных рядов, какие фактор-группы изоморфны каким

Например, так
$C_{12} / C_4 \simeq C_3 / \{1\}$
$C_4 / C_2 \simeq C_{12} / C_6$
$C_2 / \{1\} \simeq C_6 / C_3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 22:02 


20/12/13
139
AV_77 в сообщении #925176 писал(а):
Felt в сообщении #925174 писал(а):
С разбором моего примера двух изоморфных рядов, какие фактор-группы изоморфны каким

Например, так
$C_{12} / C_4 \simeq C_3 / \{1\}$
$C_4 / C_2 \simeq C_{12} / C_6$
$C_2 / \{1\} \simeq C_6 / C_3$


Спасибо.

Такие соотвествия мне тоже приходили в голову. Но как формально записать определение? В другом учебнике я наткнулся на такое:

Два ряда(ряды записаны по "убыванию") $G=(G_0, G_1,...,G_n)$ и $H=(H_0, H_1,...,H_m)$ называются изоморфными, если $n=m$ и существует такая перестановка $\pi \in S_n$, что $G_{i-1}/G_i \simeq H_{\pi (i)-1}/H_{\pi (i)}$

Как мне показалось это определение неправильно, потому что в данной перестановке всегда будет(если это перестановка не идентичная) такой элемент $i$, что $\pi (i) < \pi (i)+1$ и для $j$ такого, что $\pi (j)=\pi (i)+1$ фактор-группа $G_{j-1}/G_j$ явно не будет изоморфна $H_{\pi (j)-1}/H_{\pi (j)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
$\pi (i) < \pi (i)+1$ всегда. Какую это имеет ценность и какое отношение к последующему, я не понял. Но определение с перестановкой теперь делает смысл: неважно, в каком порядке идут факторы, лишь бы они были одни и те же. Ну вот у Вас так и есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 22:29 


20/12/13
139
ИСН в сообщении #925192 писал(а):
$\pi (i) < \pi (i)+1$ всегда. Какую это имеет ценность и какое отношение к последующему, я не понял. Но определение с перестановкой теперь делает смысл: неважно, в каком порядке идут факторы, лишь бы они были одни и те же. Ну вот у Вас так и есть.


Да, глупость сказал.
Но факторы не одни и те же, в определении сказано не $G_{i-1}/G_i \simeq H_{\pi (i-1)}/H_{\pi (i)}$, а $G_{i-1}/G_i \simeq H_{\pi (i)-1}/H_{\pi (i)}$. Но там, возможно, ошибка

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 22:36 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Felt в сообщении #925202 писал(а):
$G_{i-1}/G_i \simeq H_{\pi (i-1)}/H_{\pi (i)}$

Вот как раз так будет неправильно, а в определении все верно.

Пусть, для примера, имеем два ряда $G_0 < G_1 < G_2 < G_3$ и $H_0 < H_1 < H_2 < H_3$, а подстановка $\pi = (1, 2)(3, 4)$. Тогда
$G_1 / G_0 \to H_{\pi(1)} / H_{\pi(1) - 1} = H_2 / H_1$
$G_2 / G_1 \to H_{\pi(2)} / H_{\pi(2) - 1} = H_1 / H_0$
$G_3 / G_2 \to H_{\pi(3)} / H_{\pi(3) - 1} = H_4 / H_3$
$G_4 / G_3 \to H_{\pi(4)} / H_{\pi(4) - 1} = H_3 / H_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфные ряды подгрупп
Сообщение01.11.2014, 22:41 


20/12/13
139
Но не проще ли тогда перестановки делать в ряде факторов, а не ряде подгрупп?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group